用推广的Newton差商求满足以下条件的多项式P(x),并估计误差项。 其中P(1)=2. P(2)=4 P(3)=8. P'(1)=5 P'(2)=-2 P''(1)=10
时间: 2023-06-24 09:05:13 浏览: 106
根据Newton差商的定义,我们有:
$$
f[x_0]=f(x_0)\\
f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}\\
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}\\
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}\\
\cdots
$$
根据已知条件,我们可以列出如下的差商表:
| x | y=f(x) | y' | y'' |
|----|--------|----|-----|
| 1 | 2 | 5 | 10 |
| 2 | 4 | -2 | |
| 3 | 8 | | |
根据Newton插值公式,我们可以得到多项式$P(x)$:
$$
\begin{aligned}
P(x)&=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\
&=2+5(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)(x-2)\\
&=2+5x-5+\frac{1}{2}(x^2-3x+2)\\
&=\frac{1}{2}x^2+5x-6
\end{aligned}
$$
为了估计误差项,我们可以使用以下的余项公式:
$$
R_n(x)=f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\prod_{i=0}^n(x-x_i)
$$
这里$n=2$,所以我们有:
$$
\begin{aligned}
R_2(x)&=f[x_0,x_1,x_2,x]\prod_{i=0}^2(x-x_i)\\
&=f[1,2,3,x](x-1)(x-2)(x-3)\\
&=\frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)x
\end{aligned}
$$
因此,误差项$R_2(x)$的最大值应该在区间$[1,3]$内取得。我们可以对$R_2(x)$求导数,然后找到其在区间$[1,3]$内的最大值:
$$
\begin{aligned}
R_2'(x)&=\frac{1}{2}(x-2)(x-3)x+\frac{1}{2}(x-1)(x-3)x+\frac{1}{2}(x-1)(x-2)x\\
&=\frac{3}{2}x^3-10x^2+\frac{23}{2}x-6\\
R_2''(x)&=\frac{9}{2}x^2-20x+\frac{23}{2}
\end{aligned}
$$
令$R_2'(x)=0$,解得$x=1.292$或$x=2.449$或$x=3$。将这三个值代入$R_2''(x)$,得到$R_2''(1.292)<0$,$R_2''(2.449)>0$,$R_2''(3)<0$。因此,$R_2(x)$在$x=2.449$处取得最大值,最大值为$R_2(2.449)=\frac{27}{16}$。
因此,我们可以得到以下的估计误差:
$$
|f(x)-P(x)|\leq\frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)x\leq\frac{27}{16}\approx1.688
$$
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