给定数据表,试求以它们为插值数据点的Newton形式的不超过四次的插值多项式,并求y(3)的近似值
时间: 2023-06-15 22:03:47 浏览: 35
首先,根据数据表,我们可以列出差商表:
| x | y | Δy1 | Δy2 | Δy3 | Δy4 |
| --- | --- | ---- | ----- | ------ | ------- |
| 1 | 2 | | | | |
| | 3 | 1 | | | |
| 2 | 6 | | 3 | | |
| | 8 | 1 | 1.5 | | |
| 4 | 68 | | 30.5 | 11 | |
| | 96 | 1 | 8.5 | 3.5 | 0.6875 |
| 5 | 226 | | 65.5 | 21 | 5.3125 |
| | 322 | 1 | 13 | 5 | 1.125 |
| 6 | 562 | | 143 | 36 | 8.9375 |
| | 784 | 1 | 19.5 | 5.5 | 1.46875 |
然后,我们可以使用Newton插值公式来计算插值多项式:
$f(x) = y_0 + (x-x_0)Δy_1 + (x-x_0)(x-x_1)Δy_2 + (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)Δy_3 + (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)Δy_4$
将数据表中的数值代入上式,得到插值多项式:
$f(x) = 2 + (x-1)\cdot1 + (x-1)(x-2)\cdot1.5 + (x-1)(x-2)(x-4)\cdot0.6875 + (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)\cdot1.125$
化简后得到:
$f(x) = 0.6875x^4 - 9.375x^3 + 49.0625x^2 - 97.125x + 62.5$
因此,$y(3) \approx f(3) = 59.625$。
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