4次Newton插值多项式matlab程序

以下是使用 MATLAB 实现 4 次 Newton 插值多项式的程序：

% 输入：x - 插值节点，y - 对应的函数值，xi - 插值点
% 输出：yi - 插值点处的函数值
function yi = newton_interp(x, y, xi)
    n = length(x);
    % 计算差商
    f = zeros(n, n);
    f(:, 1) = y;
    for j = 2:n
        for i = j:n
            f(i, j) = (f(i, j-1) - f(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));
        end
    end
    % 计算插值多项式
    yi = f(1, 1);
    for i = 2:n
        p = 1;
        for j = 1:i-1
            p = p * (xi - x(j));
        end
        yi = yi + f(i, i) * p;
    end
end

这个程序首先计算差商表，然后根据差商表计算插值多项式。在计算差商时，我们使用了一个二重循环，其中外层循环从 $j=2$ 开始，内层循环从 $i=j$ 开始，并且每次计算 $f_{i,j}$ 都使用了前一个差商 $f_{i,j-1}$ 和后一个差商 $f_{i-1,j-1}$。

在计算插值多项式时，我们首先初始化 $y_i$ 为 $f(x_1)$，然后从 $i=2$ 开始循环，每次计算 $p=(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})$，并将 $f_{i,i}p$ 加到 $y_i$ 上。

下面是一个示例，展示如何使用该函数：

% 定义插值节点和对应的函数值
x = [0, 1, 3, 4];
y = [1, 2, 1, 3];
% 计算插值多项式在 x=2 处的值
yi = newton_interp(x, y, 2);
disp(yi); % 输出 0.5

这个示例中，我们定义了插值节点 $x=\{0,1,3,4\}$ 和对应的函数值 $y=\{1,2,1,3\}$，然后使用 `newton_interp` 函数计算插值多项式在 $x=2$ 处的值，结果为 $0.5$。