求分数序列: 求出这个数列的前20项之和
时间: 2023-05-25 15:07:09 浏览: 58
由题可知,该数列的第$n$项为$\dfrac{n}{n^2+1}$,则前20项的和为:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{17}+\ldots+\dfrac{20}{401}$
设这个和为$S$,则有:
$S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{17}+\ldots+\dfrac{20}{401}$
将分式通分并相加,得:
$\begin{aligned} S&=\dfrac{1\cdot 17\cdot 401+2\cdot 17\cdot 401+3\cdot 10\cdot 401+4\cdot 5\cdot 401+\ldots+20\cdot 2\cdot 5}{2\cdot 5\cdot 10\cdot 17\cdot\ldots\cdot 401} \\ &=\dfrac{17\cdot 401\cdot (1+2\cdot 10\cdot 17+\ldots+20\cdot 2\cdot 5)}{2\cdot 5\cdot 10\cdot 17\cdot\ldots\cdot 401} \end{aligned}$
由于$1+2\cdot 10\cdot 17+\ldots+20\cdot 2\cdot 5$是一个等差数列,因此可以用求和公式求出:
$1+2\cdot 10\cdot 17+\ldots+20\cdot 2\cdot 5=\dfrac{20\cdot (1+40)}{2}=420$
代入上式,得:
$\begin{aligned} S&=\dfrac{17\cdot 401\cdot 420}{2\cdot 5\cdot 10\cdot 17\cdot\ldots\cdot 401} \\ &=\dfrac{17\cdot 420}{2\cdot 5} \\ &=1422 \end{aligned}$
因此,该数列的前20项之和为$1422$。