分别使用梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式计算∫√x从0.5到1
时间: 2023-06-13 17:04:02 浏览: 218
首先,我们需要把被积函数 √x 进行积分,得到:
∫√x dx = 2/3 x^(3/2) + C
其中C为积分常数。
接下来,我们分别使用梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式计算积分。
1. 梯形公式:
在区间[0.5,1]上,我们可以选取一个节点 x0=0.5 和 x1=1,然后使用梯形公式进行计算:
∫√x dx ≈ (1-0.5)/2 * (√1 + √0.5) ≈ 0.355
2. 辛普森公式:
我们可以选取两个节点 x0=0.5,x1=0.75,x2=1,然后使用辛普森公式进行计算:
∫√x dx ≈ (1-0.5)/6 * ( √0.5 + 4√0.75 + √1 ) ≈ 0.352
3. 柯斯特公式:
我们可以选取四个节点 x0=0.5,x1=0.625,x2=0.75,x3=0.875,x4=1,然后使用柯斯特公式进行计算:
∫√x dx ≈ (1-0.5)/90 * ( 7√0.5 + 32√0.625 + 12√0.75 + 32√0.875 + 7√1 ) ≈ 0.352
因此,使用梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式分别计算∫√x从0.5到1的值,得到的结果分别为0.355,0.352和0.352。其中柯斯特公式的精度最高,因为它使用了更多的节点。
相关问题
分别使用梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式计算∫√x从0.5到1用c语言代码实现
以下是使用梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式计算∫√x从0.5到1的C语言代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 梯形公式
double trapezoid(double (*f)(double), double a, double b, int n) {
double h = (b - a) / n;
double sum = 0.5 * (f(a) + f(b));
for (int i = 1; i < n; i++) {
double x = a + i * h;
sum += f(x);
}
return h * sum;
}
// 辛普森公式
double simpson(double (*f)(double), double a, double b, int n) {
if (n % 2 != 0) {
printf("n must be even for Simpson's rule.\n");
return 0;
}
double h = (b - a) / n;
double sum = f(a) + f(b);
for (int i = 1; i < n; i++) {
double x = a + i * h;
sum += 2 * f(x) * (i % 2 + 1);
}
return h * sum / 3;
}
// 柯斯特公式
double coates(double (*f)(double), double a, double b) {
double h1 = (b - a) / 6;
double h2 = (b - a) / 15;
double x1 = a + h1;
double x2 = a + 2 * h1;
double x3 = a + 3 * h1;
double x4 = b - 3 * h1;
double x5 = b - 2 * h1;
double x6 = b - h1;
double sum1 = f(a) + 4 * f(x1) + f(x2) + 4 * f(x3) + f(b);
double sum2 = f(a) + 3 * f(x1) + 3 * f(x2) + 4 * f(x3) + 3 * f(x4)
+ 3 * f(x5) + 4 * f(x6) + f(b);
return h1 * sum1 - h2 * sum2;
}
double f(double x) {
return sqrt(x);
}
int main() {
double a = 0.5, b = 1;
int n = 100;
printf("Trapezoid: %lf\n", trapezoid(f, a, b, n));
printf("Simpson: %lf\n", simpson(f, a, b, n));
printf("Coates: %lf\n", coates(f, a, b));
return 0;
}
```
其中,`trapezoid`、`simpson`和`coates`分别对应梯形公式、辛普森公式和柯斯特公式的实现,`f`是被积函数,`a`和`b`是积分区间,`n`是划分的区间数。在`main`函数中,我们分别调用这三个函数计算出积分的近似值,并输出结果。
一道例题用梯形公式辛普森公式孵化梯形公式和孵化辛普森公式解决
假设要求以下函数在区间 [1, 2] 上的定积分:
f(x) = x^2 + 2x + 1
我们可以先使用梯形公式来估计定积分的值。梯形公式的公式如下:
∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]
将 a=1, b=2, f(x) = x^2 + 2x + 1 代入公式中,得到:
∫[1,2](x^2 + 2x + 1)dx ≈ (2-1)/2 * [(1^2 + 2*1 + 1) + (2^2 + 2*2 + 1)]
≈ 1/2 * (4 + 9)
≈ 6.5
接下来,我们可以使用辛普森公式来进一步提高精度。辛普森公式的公式如下:
∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]
将 a=1, b=2, f(x) = x^2 + 2x + 1 代入公式中,得到:
∫[1,2](x^2 + 2x + 1)dx ≈ (2-1)/6 * [(1^2 + 2*1 + 1) + 4((1+2)/2)^2 + 2*(1+2) + (2^2 + 2*2 + 1)]
≈ 1/6 * (4 + 16 + 6 + 9)
≈ 6.3333
可以发现,使用辛普森公式得到的结果更加接近真实值。