若矩阵 C = AB 是可逆的,则矩阵 A 和 B 均为可逆阵。
时间: 2023-05-30 19:03:44 浏览: 99
假设矩阵 A 或 B 不可逆,则它们的行列式为零。设 A 的行列式为零,则有 Ax=0 有非零解x,因此CBx=C(AB)x=0,说明 C 不可逆,与题意矛盾。同理可证明矩阵 B 也必须可逆。因此,若矩阵 C = AB 是可逆的,则矩阵 A 和 B 均为可逆阵。
相关问题
若矩阵 C = AB 是可逆的,则矩阵 A 和 B 均为可逆阵
。证明:
若矩阵 C = AB 是可逆的,即存在矩阵 D,使得 CD = DC = I。
由矩阵乘法的结合律可得:
D = D(I) = D(CD) = (DC)D = ID = D
因此,矩阵 D 是可逆的,且逆矩阵为 D^-1 = D。则有:
CD = DC = I
左乘 C^-1 可得:
C^-1CD = C^-1
即 D = C^-1,因此:
ABD^-1 = I
左乘 A^-1 可得:
B = A^-1
因此,矩阵 A 和 B 均为可逆阵。
若矩阵 A 和 B 均为可逆阵,则 AB = BA。
是的,若矩阵 A 和 B 均为可逆阵,则 AB = BA。这是因为:
1. 可逆阵 A 有逆矩阵 A^-1,可逆阵 B 有逆矩阵 B^-1。
2. AB 与 BA 均可逆,且它们的逆矩阵相等,即 (AB)^-1 = B^-1 A^-1 = (BA)^-1。
3. 从 (AB)^-1 = (BA)^-1 可以推出 AB = BA。
因此,若矩阵 A 和 B 均为可逆阵,则 AB = BA。