3阶行列式把第一列换到第三列

设行列式 $A$ 为：

$$
A=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$

现在我们将 $A$ 的第一列换到第三列，得到的新行列式为 $B$，则：

$$
\begin{aligned}
B&=
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}\\
&=a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{12}a_{21}-a_{31}a_{23}a_{12}-a_{32}a_{12}a_{13}-a_{33}a_{22}a_{11}
\end{aligned}
$$

因此，将行列式的第一列换到第三列，其值为原来行列式值的相反数，即：

$$
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$

这就是行列式的列的交换性质。

相关问题

n阶行列式行列式把最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列……..需要换多少次

对于 $n$ 阶行列式，将最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列，以此类推，需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。

这是因为，对于一个 $n$ 阶行列式，将最后一列换到第一列需要进行一次列交换，将倒数第二列换到第二列需要进行一次列交换，将倒数第三列换到第三列需要进行一次列交换，以此类推，当 $n$ 是奇数时，中间的列可以不用换，因为这个列不会在最终的结果中出现。因此，总共需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。

需要注意的是，每次进行列交换都会引入一个符号因子 $(-1)^{n-k}$，其中 $n$ 表示行列式的阶数，$k$ 表示当前进行交换的列数。因此，在进行列交换时，需要同时记录符号因子，并将其乘到行列式的值上。

n阶行列式把最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列…….依次换下去结果是n*(n-1)/2吗

不是的，将行列式的最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列，以此类推，需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换，而每次列交换都会引入一个符号因子 $(-1)^{n-k}$，其中 $n$ 表示行列式的阶数，$k$ 表示当前进行交换的列数。

因此，对于 $n$ 阶行列式，将最后一列换到第一列需要进行 $n-1$ 次列交换，将倒数第二列换到第二列需要进行 $n-2$ 次列交换，将倒数第三列换到第三列需要进行 $n-3$ 次列交换，以此类推，总共需要进行 $1+2+3+\cdots+(n-1)$ 次列交换。

根据等差数列求和公式，$1+2+3+\cdots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$。因此，将行列式的最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列，以此类推，总共需要进行 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次列交换，每次列交换都会引入符号因子，需要将这些符号因子相乘，并将其乘到行列式的值上。