n阶行列式把最后一列换到第一列,倒数第二列换到第二列…….依次换下去互换次数结果是n*(n-1)/2吗列出十项互换过程
时间: 2024-04-07 22:28:30 浏览: 35
是的,将行列式的最后一列换到第一列,倒数第二列换到第二列,以此类推,需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换,总共需要进行 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次列交换。
以 $3$ 阶行列式为例,将最后一列换到第一列需要进行 $2$ 次列交换,将倒数第二列换到第二列需要进行 $1$ 次列交换,因此总共需要进行 $1+2=3$ 次列交换。下面列出这 $3$ 次列交换的互换过程:
1. 将第 $3$ 列和第 $1$ 列交换,行列式的值乘以 $(-1)^{3-1}= -1$。
$\begin{vmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$
2. 将第 $2$ 列和第 $1$ 列交换,行列式的值乘以 $(-1)^{2-1}= -1$。
$\begin{vmatrix} a_{32} & a_{31} & a_{33} \\ a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}$
3. 将第 $3$ 列和第 $2$ 列交换,行列式的值乘以 $(-1)^{3-2}= 1$。
$\begin{vmatrix} a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{22} & a_{23} & a_{21} \end{vmatrix}$
因此,对于 $3$ 阶行列式,将最后一列换到第一列,倒数第二列换到第二列,以此类推,需要进行 $3$ 次列交换,总共需要进行 $\frac{3\times 2}{2} = 3$ 次列交换。