3阶行列式把第一列换到第三列可以直接换吗
时间: 2023-08-05 17:57:55 浏览: 69
在计算行列式的过程中,我们可以通过初等行变换或初等列变换来改变行列式的顺序,但是需要注意的是,交换任意两行或两列会改变行列式的符号,即行列式的值变为原来的相反数。因此,如果我们将第一列直接换到第三列,行列式的值也会变为原来的相反数。
具体来说,如果将 $A$ 的第一列直接换到第三列,得到的新行列式 $B$ 为:
$$
B=\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}
$$
这个行列式的值与原来的行列式值相差一个负号,即:
$$
B=-\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$
因此,虽然直接将第一列换到第三列的计算方法与通过初等行变换或初等列变换改变行列式顺序的计算方法不同,但是它们都可以得到正确的行列式值。
相关问题
3阶行列式把第一列换到第三列
设行列式 $A$ 为:
$$
A=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$
现在我们将 $A$ 的第一列换到第三列,得到的新行列式为 $B$,则:
$$
\begin{aligned}
B&=
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}\\
&=a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{12}a_{21}-a_{31}a_{23}a_{12}-a_{32}a_{12}a_{13}-a_{33}a_{22}a_{11}
\end{aligned}
$$
因此,将行列式的第一列换到第三列,其值为原来行列式值的相反数,即:
$$
\begin{vmatrix}
a_{31}&a_{12}&a_{11}\\
a_{32}&a_{22}&a_{12}\\
a_{33}&a_{32}&a_{13}
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}
$$
这就是行列式的列的交换性质。
n阶行列式行列式把最后一列换到第一列,倒数第二列换到第二列……..需要换多少次
对于 $n$ 阶行列式,将最后一列换到第一列,倒数第二列换到第二列,以此类推,需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。
这是因为,对于一个 $n$ 阶行列式,将最后一列换到第一列需要进行一次列交换,将倒数第二列换到第二列需要进行一次列交换,将倒数第三列换到第三列需要进行一次列交换,以此类推,当 $n$ 是奇数时,中间的列可以不用换,因为这个列不会在最终的结果中出现。因此,总共需要进行 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次列交换。
需要注意的是,每次进行列交换都会引入一个符号因子 $(-1)^{n-k}$,其中 $n$ 表示行列式的阶数,$k$ 表示当前进行交换的列数。因此,在进行列交换时,需要同时记录符号因子,并将其乘到行列式的值上。