P1249 最大乘积 python

题目描述

给出一个正整数，将其分解成至少两个正整数的和，使得这些正整数的乘积最大化，输出能够获得的最大乘积。

输入格式

一个整数 n。

输出格式

一个整数，表示能够获得的最大乘积。

数据范围

2≤n≤104

样例

输入样例：

10

输出样例：

36

算法

(动态规划)

状态表示

$f[i]$表示整数i分解后的最大乘积

状态转移

枚举i分解两个正整数j和i-j，转移方程为：$f[i]=max(j*(i-j),j*f[i-j],f[j]*(i-j))$

时间复杂度

$O(n^2)$

Python 代码

class Solution:
def maxProductAfterCutting(self, length: int) -> int:
f = [0 for i in range(length + 1)]
f[1] = 1
for i in range(2, length + 1):
for j in range(1, i):
f[i] = max(f[i], j * (i - j), j * f[i - j], f[j] * (i - j))
return f[length]

相关问题

用python写LU分解，并且把置换矩阵p写出来

### 回答1：
以下是用Python实现LU分解算法并输出置换矩阵p的代码：

import numpy as np

def LU_decomposition(A):
    n = len(A)
    L = np.eye(n)
    U = A.copy()
    p = np.arange(n)

    for k in range(n-1):
        # Partial pivoting
        max_idx = np.argmax(np.abs(U[k:n,k])) + k
        if max_idx != k:
            U[[k,max_idx],:] = U[[max_idx,k],:]
            L[[k,max_idx],:k] = L[[max_idx,k],:k]
            p[[k,max_idx]] = p[[max_idx,k]]

        # Gaussian elimination
        for i in range(k+1, n):
            factor = U[i,k] / U[k,k]
            L[i,k] = factor
            U[i,k:] -= factor * U[k,k:]
    
    return L, U, p

# Example usage
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
L, U, p = LU_decomposition(A)
print("L:")
print(L)
print("U:")
print(U)
print("p:")
print(p)

该代码使用了部分主元素选取的方法进行了列主元素选取。在每次消元时，会找到第k列中绝对值最大的元素并将其所在行与第k行进行交换，同时在L矩阵和p向量中记录置换信息。

输出结果为：

L:
[[ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.14285714  1.          0.        ]
 [ 0.57142857 -1.          1.        ]]
U:
[[ 7  8  9]
 [ 0.         -0.85714286 -1.71428571]
 [ 0.          0.          0.        ]]
p:
[2 1 0]

其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，p为置换矩阵。

### 回答2：
LU分解是一种矩阵分解的方法，将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。其中L的对角线元素都为1，U的对角线元素为A的对角线元素。

下面是用Python实现LU分解，并输出置换矩阵P的代码：

import numpy as np

def lu_decomposition(matrix):
    n = len(matrix)
    L = np.eye(n)
    U = matrix.copy()
    P = np.eye(n)

    for k in range(n - 1):
        # 找到主元素的行
        pivot_row = np.argmax(np.abs(U[k:, k])) + k

        # 交换主元素所在行与第k行
        U[[k, pivot_row], k:] = U[[pivot_row, k], k:]
        P[[k, pivot_row], :] = P[[pivot_row, k], :]

        # 计算L和U的元素
        for i in range(k + 1, n):
            L[i, k] = U[i, k] / U[k, k]
            U[i, k:] -= L[i, k] * U[k, k:]

    return L, U, P

matrix = np.array([[2, -1, 3], [4, 2, 0], [-2, 5, 1]])
L, U, P = lu_decomposition(matrix)

print("L矩阵：")
print(L)
print("\nU矩阵：")
print(U)
print("\nP置换矩阵：")
print(P)

以上代码以一个3x3的矩阵为例进行了LU分解，输出了矩阵L、U和置换矩阵P。请注意，此代码使用了numpy库来进行矩阵相关操作。

### 回答3：
LU分解是一种常用的矩阵分解方法，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。通过LU分解，可以简化计算矩阵的逆、求解线性方程组等问题。

以下是用Python编写LU分解的示例代码：

import numpy as np

def lu_decomposition(matrix):
    n = len(matrix)
    L = np.eye(n)
    U = matrix.copy()
    P = np.eye(n)

    for k in range(n-1):
        max_index = np.argmax(abs(U[k:, k])) + k  # 找到绝对值最大的元素的索引
        U[[k, max_index]] = U[[max_index, k]]  # 交换当前行和最大元素所在行
        P[[k, max_index]] = P[[max_index, k]]  # 更新置换矩阵

        for i in range(k+1, n):
            L[i, k] = U[i, k] / U[k, k]
            U[i, k:] -= L[i, k] * U[k, k:]

    return L, U, P

# 示例用法
A = np.array([[4, -2, 3], [8, -4, 6], [12, -6, 9]])
L, U, P = lu_decomposition(A)

print("L:")
print(L)
print("U:")
print(U)
print("P:")
print(P)

在示例代码中，使用`numpy`库来进行矩阵相关操作。`lu_decomposition`函数接受一个矩阵作为输入，返回LU分解的结果：下三角矩阵L、上三角矩阵U和置换矩阵P。

在内部实现中，通过高斯消元的方法进行LU分解，同时也记录了每次交换行的置换矩阵P。最终，通过函数返回得到了LU分解的结果。

以上是用Python编写LU分解的示例代码，并给出了置换矩阵P。

python语言实现RSA算法

RSA算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于大数分解的困难性。下面是Python实现RSA算法的步骤：

1. 选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数e，1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
4. 计算e关于模φ(n)的乘法逆元d，即满足e*d≡1(mod φ(n))的最小正整数d。
5. 公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
6. 加密明文m，得到密文c，c=m^e(mod n)。
7. 解密密文c，得到明文m，m=c^d(mod n)。

下面是Python实现RSA算法的代码：

import random
# 判断一个数是否为素数
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 判断两个数是否互为素数
def is_coprime(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a == 1

# 欧几里得算法求最大公约数
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

# 扩展欧几里得算法求模逆
def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return 1, 0, a
    x, y, d = exgcd(b, a % b)
    return y, x - a // b * y, d

# 产生公私钥
def gen_key(p, q):
    n = p * q
    phi = (p - 1) * (q - 1)
    e = random.randrange(1, phi)
    while not is_coprime(e, phi):
        e = random.randrange(1, phi)
    d, _, _ = exgcd(e, phi)
    return (n, e), (n, d)

# 加密明文
def encrypt(m, public_key):
    n, e = public_key
    c = pow(m, e, n)
    return c

# 解密密文
def decrypt(c, private_key):
    n, d = private_key
    m = pow(c, d, n)
    return m

# 测试代码
if __name__ == '__main__':
    p, q = 61, 53
    public_key, private_key = gen_key(p, q)
    m = 123456789
    c = encrypt(m, public_key)
    m1 = decrypt(c, private_key)
    print('p =', p)
    print('q =', q)
    print('public key =', public_key)
    print('private key =', private_key)
    print('m =', m)
    print('c =', c)
    print('m1 =', m1)