sinx^cosy 偏导数

我的理解是，要求 sin(x)^(cos(y)) 的偏导数，其中 x 和 y 分别是自变量。如果我理解正确的话，sin(x)^(cos(y)) 的偏导数是 cos(x)*cos(y)*sin(x)^(cos(y)-1)*(-ln(sin(x)))。不过需要注意的是，我的答案并不保证完全正确，因为我只是一个 AI 模型，并不能保证所有问题都能完美回答。

相关问题

sinx^5-sinx^7的原函数

首先我们可以利用恒等式将原函数转化为 sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx。然后我们可以进行变量代换，令u = sin x，那么原函数可以表示为：

∫u^5(1 - u^2)^1/2 du - ∫u^7(1 - u^2)^1/2 du

对于第一个积分，我们可以进行部分积分，令v = (1 - u^2)^1/2，du = 5u^4 du，那么有：

∫u^5(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^4 (1 - u^2) du = ∫u^4 du - ∫u^6 du = u^5/5 - u^7/7 + C1

对于第二个积分，我们可以进行部分积分，令v = (1 - u^2)^1/2，du = 7u^6 du，那么有：

∫u^7(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^6 (1 - u^2) du = ∫u^6 du - ∫u^8 du = u^7/7 - u^9/9 + C2

因此，原函数为：

sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx = u^5/5 - u^7/7 - u^7/7 + u^9/9 + C = (sin^5 x)/5 - (2sin^7 x)/7 + (sin^9 x)/9 + C

1/(sinx ^3+cox ^3)的积分

这个积分可以通过换元来求解。我们可以先对分母进行因式分解，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入原式，得到：

∫1/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx = ∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = √2∫1/[t(1 - t^2)] dt

对右侧的积分进行求解，可以使用部分分式分解法，得到：

∫1/[t(1 - t^2)] dt = 1/2 ∫[1/(t-1) - 1/t - 1/(t+1)] dt

对上式右侧三个部分的积分，可以通过求对数积分来解决，得到：

∫1/(t-1) dt = ln|t-1| + C1

∫1/t dt = ln|t| + C2

∫1/(t+1) dt = ln|t+1| + C3

将t代回，得到：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = 1/2 √2 [ln|tan(x/2 + π/4)| - ln|tan(x/2)| - ln|tan(x/2 - π/4)|] + C'

其中C'为常数。这就是原式的解。