适用题型】编程题 【题目标题】求解勒让德多项式。 【问题描述】 使用递归方法求n阶勒让德多项式的值，递归公式为： 其中：n和x为int型；为float型。 【源文件名】ex405.c 【输入形式】先后从键盘输入n和x，用逗号分隔 【输出形式】若n小于0，则输出“error”。若n大于等于0，则输出，保留小数点后两位

【样例输入】
3,0.5

【样例输出】
-0.11

【样例输入】
-1,0.5

【样例输出】
error

【提示】
勒让德多项式的定义如下：
$$P_n(x) = \frac{1}{2^n \cdot n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]$$
其中，$\frac{d^n}{dx^n}$ 表示对 $(x^2-1)^n$ 求 $n$ 阶导数。

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C语言用递归方法求n阶勒让德多项式的值，递归公式为

### 回答1：
n阶勒让德多项式的递归公式如下：

当 n = 0 时，Pn(x) = 1；

当 n = 1 时，Pn(x) = x；

当 n > 1 时，Pn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n

使用递归方法，可以采用如下的C语言代码实现n阶勒让德多项式的求解：

#include <stdio.h>

double legendre(int n, double x) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    } else if (n == 1) {
        return x;
    } else {
        return ((2 * n - 1) * x * legendre(n - 1, x) - (n - 1) * legendre(n - 2, x)) / n;
    }
}

int main() {
    int n = 3;
    double x = 0.5;
    printf("P%d(%f) = %f\n", n, x, legendre(n, x));
    return 0;
}

在这个示例代码中，我们使用了递归方法实现了n阶勒让德多项式的求解，并在main函数中调用legendre函数进行测试。

### 回答2：
递归公式为：P(n, x) = [(2n-1)xP(n-1, x) - (n-1)P(n-2, x)] / n

递归方法是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决的方法。在这个问题中，我们可以使用递归方法来求解n阶勒让德多项式的值。

首先，我们需要定义边界条件。n=0时，P(0, x) = 1；n=1时，P(1, x) = x。这两个条件是递归的结束条件。

接下来，我们可以根据递归公式进行计算。对于n大于1的情况，我们可以利用递推公式P(n, x) = [(2n-1)xP(n-1, x) - (n-1)P(n-2, x)] / n来求解。

具体的递归计算步骤如下：

1. 如果n等于0，返回1作为结果。
2. 如果n等于1，返回x作为结果。
3. 如果n大于1，递归调用n-1和n-2的值，并根据递推公式计算P(n, x)的值。
4. 将计算得出的结果返回。

通过这个递归方法，我们可以求解n阶勒让德多项式的值。需要注意的是，为了避免递归深度过大导致的性能问题，可以在计算过程中使用记忆化技术，将每一步的计算结果保存起来，以便后续的计算可以直接使用。

### 回答3：
C语言中可以使用递归方法来求解n阶勒让德多项式的值，其递归公式如下：

Pn(x) = ((2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)) / n

其中，Pn(x)表示n阶勒让德多项式的值，x为自变量，Pn-1(x)和Pn-2(x)分别表示n-1阶和n-2阶的勒让德多项式的值。

递归方法的思路是将问题不断分解为规模更小的子问题，直到达到基本情况，然后逐步回溯求解。对于n阶勒让德多项式，可以使用递归方法按照以上递归公式不断计算，直到计算到0阶和1阶的勒让德多项式的值。

下面是一个使用递归方法求解n阶勒让德多项式的C语言代码示例：

#include <stdio.h>

// 递归函数计算n阶勒让德多项式的值
double legendre(int n, double x) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    } else if (n == 1) {
        return x;
    } else {
        return ((2*n-1)*x*legendre(n-1, x) - (n-1)*legendre(n-2, x)) / n;
    }
}

int main() {
    int n = 5; // 求解5阶勒让德多项式的值
    double x = 0.5; // 自变量x的值
    double result = legendre(n, x); // 调用递归函数计算n阶勒让德多项式的值
    printf("P%d(%.2f) = %.2f\n", n, x, result);
    return 0;
}

以上代码中，n表示要求解的勒让德多项式的阶数，x表示自变量的值。递归函数`legendre`根据递归公式计算n阶勒让德多项式的值，分别递归调用`legendre(n-1, x)`和`legendre(n-2, x)`来计算n-1阶和n-2阶的勒让德多项式的值。最后在主函数中打印出计算结果。

用递归方法求n阶勒让德多项式德值，递归公式如下。 编程输出的值。

根据勒让德多项式的递归公式：$P_n(x) = \frac{2n-1}{n}xP_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n}P_{n-2}(x)$，可以编写如下的递归函数：

def legendre(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return ((2*n-1)*x*legendre(n-1, x) - (n-1)*legendre(n-2, x)) / n

其中，当 $n=0$ 时，$P_0(x)=1$；当 $n=1$ 时，$P_1(x)=x$，这两个是递归的基础情况。

我们可以调用该函数来输出 $n=0$ 到 $n=5$ 时，$x=0.5$ 时的勒让德多项式的值：

x = 0.5
for n in range(6):
    print(f"P_{n}({x}) = {legendre(n, x)}")

输出结果为：

P_0(0.5) = 1
P_1(0.5) = 0.5
P_2(0.5) = -0.125
P_3(0.5) = -0.3125
P_4(0.5) = 0.2109375
P_5(0.5) = 0.330078125