如何利用MATLAB根据系统的特征方程画出根轨迹

根轨迹是描述系统稳定性和动态特性的重要工具。MATLAB提供了一些函数，可以方便地绘制根轨迹。下面是一些基本的步骤：

1. 确定系统的特征方程。特征方程是描述系统稳定性和动态特性的方程，通常可以写成$s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0=0$的形式，其中$s$是复变量，$a_i$是实数。

2. 在MATLAB中定义特征方程。可以使用syms函数定义符号变量，然后使用roots函数求出特征方程的根。

3. 使用rlocus函数绘制根轨迹。rlocus函数可以根据系统的传递函数或状态空间模型绘制根轨迹，但是也可以直接输入特征方程。例如，rlocus([1 2 3 4 5])可以绘制特征方程$s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0$的根轨迹。

4. 根据需要调整绘图参数。可以使用axis函数调整坐标轴范围，使用title和xlabel/ylabel函数添加标题和标签，使用grid函数添加网格线等等。

下面是一个简单的例子，演示如何绘制特征方程$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0$的根轨迹：

syms s zeta wn
eqn = s^2 + 2*zeta*wn*s + wn^2 == 0;
rlocus(eqn)

这段代码将绘制出根轨迹。可以使用zeta和wn变量控制阻尼比和自然频率的值。例如，可以使用zeta=0.5和wn=1来绘制阻尼比为0.5，自然频率为1的根轨迹：

zeta = 0.5;
wn = 1;
eqn = s^2 + 2*zeta*wn*s + wn^2 == 0;
rlocus(eqn)
axis([-2 2 -2 2])
title('Root Locus')
xlabel('Real Axis')
ylabel('Imaginary Axis')
grid on

这段代码将绘制出如下的根轨迹：