函数z=-cosy+cos(x+y)+sinx在闭域D:0≤x≤π/2,0≤y≤π/2上的最小值为
时间: 2024-06-07 12:07:03 浏览: 17
我们可以利用 Lagrange 乘数法来解决这个问题。首先,我们需要构造一个辅助函数:
L(x,y,λ)= -cos(y)+cos(x+y)+sin(x)+λ(x^2+y^2-π^2/4)
其中,λ 是 Lagrange 乘数。现在,我们需要求解以下方程组:
∂L/∂x=0
∂L/∂y=0
∂L/∂λ=0
对于第一个方程,我们有:
- sin(x+y)+cos(x)+2λx=0
对于第二个方程,我们有:
- -sin(y)+cos(x+y)+2λy=0
对于第三个方程,我们有:
- x^2+y^2-π^2/4=0
现在,我们可以尝试解决这个方程组。首先,我们可以将第一个和第二个方程重写为:
- sin(x+y)+cos(x)= -2λx
- sin(x+y)-sin(y)= -2λy
通过将这两个方程相加,我们得到:
- cos(x)= -2λ(x+y)
通过将这两个方程相减,我们得到:
- sin(y)= -2λ(x-y)
现在,我们可以将这些结果代入第三个方程中,得到:
- 5x^2+3y^2=π^2/4
为了找到函数的最小值,我们需要找到 L(x,y,λ) 在 D 中的所有驻点。为此,我们可以解决以下方程组:
- ∂L/∂x=0
- ∂L/∂y=0
- ∂L/∂λ=0
- x=0
- y=0
- x=π/4,y=π/4
对于前三个方程,我们已经在前面讨论过了。对于第四个方程,我们有:
- x=0,y=±π/2
对于第五个方程,我们有:
- x=±π/2,y=0
最后,对于第六个方程,我们有:
- x=π/4,y=π/4
现在,我们需要将这些驻点代入原始函数中,并找到其中的最小值。经过计算,我们可以发现,最小值为:
- f(π/4,π/4)= -1
因此,函数在 D 上的最小值为 -1。
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