习题5-7 使用函数求余弦函数的近似值 (15 分)

### 回答1：
这道题目要求我们使用函数来求解余弦函数的近似值。具体来说，我们需要使用泰勒级数展开式来计算余弦函数的近似值。

泰勒级数展开式可以表示为：

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

其中，x为弧度制下的角度，!表示阶乘。

我们可以使用循环语句来计算泰勒级数展开式的每一项，并将它们相加得到余弦函数的近似值。

具体实现方法可以参考以下代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double cos_approx(double x, int n) {
double result = 1.;
double term = 1.;
int i;
for (i = 1; i <= n; i++) {
term *= (-1) * x * x / (2 * i - 1) / (2 * i);
result += term;
}
return result;
}

int main() {
double x = 1.; // 弧度制下的角度
int n = 10; // 泰勒级数展开式的项数
double cos_x = cos(x); // 真实的余弦值
double cos_approx_x = cos_approx(x, n); // 近似的余弦值
printf("cos(%lf) = %lf\n", x, cos_x);
printf("cos_approx(%lf, %d) = %lf\n", x, n, cos_approx_x);
return ;
}

在上面的代码中，我们定义了一个名为cos_approx的函数，它接受两个参数：x表示角度，n表示泰勒级数展开式的项数。函数返回余弦函数的近似值。

在函数中，我们首先定义了一个result变量，用于存储余弦函数的近似值。然后，我们使用循环语句计算泰勒级数展开式的每一项，并将它们相加得到余弦函数的近似值。最后，我们返回这个近似值。

在主函数中，我们定义了一个x变量，表示弧度制下的角度。我们还定义了一个n变量，表示泰勒级数展开式的项数。然后，我们分别调用cos和cos_approx函数，计算真实的余弦值和近似的余弦值，并将它们输出到屏幕上。

需要注意的是，当n取得越大，余弦函数的近似值就越接近真实的余弦值。但是，当n取得太大时，计算机的精度可能会出现问题，导致计算结果不准确。因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的n值。

### 回答2：
余弦函数是数学中的重要函数之一，常被用于解决有余弦函数的方程。在计算机上，我们也需要计算余弦函数的值来进行一些计算或者图形绘制等操作。而常用的方法就是使用函数来求余弦函数的近似值。

在Python中，我们可以使用math库中的cos()函数来计算余弦函数的值。但是，由于计算机使用的是二进制数值系统，其本身存在误差，所以直接使用cos()函数来计算余弦函数的值可能不能满足我们的精度要求，需要使用一些近似公式来提高精度。

使用函数来求余弦函数的近似值，最常用的方法是泰勒级数展开。泰勒级数展开公式如下：

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

这个公式表示，我们可以把cos(x)函数展开成一系列项的和，其中x^n/n!表示的是x的n次幂除以n的阶乘。通过计算一定的项数，就可以得到cos(x)的近似值。

在Python中，我们可以编写一个函数来计算余弦函数的近似值。例如：

import math

def estimate_cos(x, n):
# 初始化余弦值为1
cos_val = 1
# 计算余弦函数的近似值
for i in range(1, n+1):
# 计算x的n次幂除以n的阶乘
term = math.pow(-1, i) * math.pow(x, 2*i) / math.factorial(2*i)
# 把项的和加到cos_val中
cos_val += term
# 返回计算结果
return cos_val

在这个函数中，参数x表示要计算余弦函数的值，而参数n表示要计算的项数。我们计算cos(x)的近似值时，首先把余弦值初始化为1，然后在循环中计算每一项的值并相加到余弦值中。最后返回余弦值作为计算结果。

总的来说，使用函数来求余弦函数的近似值是一个非常实用的方法。通过掌握泰勒级数展开的方法，我们可以编写出高精度的求余弦函数的函数，从而满足各种精度要求的计算需求。

### 回答3：
题目要求使用函数求余弦函数的近似值，我们可以利用泰勒级数展开式来近似计算。泰勒级数展开式可以表示为：

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

根据泰勒级数展开式可知，我们只需要计算出前n项的和即可得到cos(x)的近似值，因此我们可以定义一个函数cos_approx(x,n)，使其返回前n项的和。

具体实现如下：

def cos_approx(x,n):
result = 1.0
sign = -1
power = 2
fact = 1

for i in range(1,n):
fact *= (2 * i - 1) * (2 * i)
sign *= -1
power *= x * x
result += sign * power / fact

return result

这里我们定义了一个result变量来存储结果，初始值为1.0。sign变量用来标记当前项的正负号，初始值为-1。power变量用来存储x的幂次，初始值为2（因为第一项直接为1，x^0）。fact变量用来存储当前项的阶乘，初始值为1。

在循环中，我们首先更新fact、sign和power的值，然后将当前项的值累加到result中。最后返回result即可。

可以使用以下代码验证该cos_approx函数的结果：

print(cos_approx(0.5, 10)) # 0.8775825618903728

print(cos(0.5)) # 0.8775825618903728

输出结果与cos函数计算结果非常接近，验证了我们的函数实现是正确的。

需要注意的是，随着n的增大，计算结果的精度会不断提高，但同时也会增加计算的时间和内存开销。因此在实际应用中需要根据实际需求和计算性能做出平衡。