题目描述 下面的图形是著名的杨辉三角形： 如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, \cdots1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯ 给定一个正整数 NN，请你输出数列中第一次出现 NN 是在第几个数？ 输入描述 输入一个整数 NN。 输出描述 输出一个整数代表答案。 输入输出样例 示例 1 输入 6 输出 13 评测用例规模与约定 对于 20%20​​ 的评测用例，1\leq N\leq 101≤N≤10​； 对于所有评测用例，1\leq N\leq 10000000001≤N≤1000000000。

算法1

暴力枚举。按照题目要求，把杨辉三角的每个数写下来，再逐个判断是否等于 $N$ ，找出第一次出现的位置。

时间复杂度 $O(N^2)$，空间复杂度 $O(N^2)$。

算法2

根据杨辉三角的性质，第 $i$ 行的第 $j$ 个数可以通过组合数 $\binom{i-1}{j-1}$ 计算得出。因此，我们可以通过公式计算数列中每一个数，直到找到第一个等于 $N$ 的数。

由于数据范围较大，需要注意溢出问题。可以使用 long long 类型。

时间复杂度 $O(N)$，空间复杂度 $O(1)$。

C++ 代码

算法2

相关问题

下面的图形是著名的杨辉三角形： 如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, … 给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数？完整C语言

实现如下：

#include <stdio.h>

// 计算杨辉三角的第n行第k个数
int yangHui(int n, int k)
{
    if (k == 1 || k == n) {
        return 1;
    } else {
        return yangHui(n - 1, k - 1) + yangHui(n - 1, k);
    }
}

int main()
{
    int n;
    printf("请输入要查找的数N：");
    scanf("%d", &n);
    int i, j, count = 0;
    for (i = 1; ; i++) {
        for (j = 1; j <= i; j++) {
            count++;
            if (yangHui(i, j) == n) {
                printf("第一次出现%d是在第%d个数\n", n, count);
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

程序的思路是：先定义一个递归函数 `yangHui(n, k)`，用来计算杨辉三角的第n行第k个数。然后在 `main` 函数中，依次遍历数列中的每一个数，计算出对应的杨辉三角行和列，然后调用 `yangHui(n, k)` 函数计算出该数，判断是否等于目标数N，如果是，则输出结果并退出程序。

题目描述 下面的图形是著名的杨辉三角形： 如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, \cdots1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯ 给定一个正整数 NN，请你输出数列中第一次出现 NN 是在第几个数？ 输入描述 输入一个整数 NN。 输出描述 输出一个整数代表答案。

算法1 数学

数列中的数可以通过组合数来计算：第 n 行第 k 个数为 C(n-1, k-1)。因此可以按顺序计算数列中每个数，直到第一个大于等于 N 的数出现为止。

时间复杂度：O(N^2)

C++ 代码

算法2 二分查找

观察数列，可以发现它是逐行递增的，因此可以考虑使用二分查找。具体地，在数列中找到第一个大于等于 N 的数。至于如何找到第 n 行第 k 个数，可以使用公式 C(n-1, k-1)，也可以使用递推式 C(n, k)=C(n-1, k-1)+C(n-1, k)来计算。

时间复杂度：O(log^2 N)

C++ 代码