设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜1]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数。

要求Z=xy的概率密度函数，需要先求出Z的分布函数，即F(z)=P(Z≤z)。

当0＜z＜1时，Z=xy，所以有：

F(z)=P(Z≤z)=P(xy≤z)

对于D区域内的任意一点(x,y)，有：

P(xy≤z)=P(x≤z/y)=(1/2)∫[0,z/y]dx=z/(2y)

因此，对于0＜z＜1，有：

F(z)=∫∫Dz/(2y)dxdy=zln2

当1≤z≤2时，Z=xy，所以有：

F(z)=P(Z≤z)=P(xy≤z)

对于D区域内的任意一点(x,y)，有：

P(xy≤z)=P(y≤z/x)=(1/2)∫[z/2,2]dx=z/2-x/4

因此，对于1≤z≤2，有：

F(z)=∫∫D(z/2-x/4)dxdy=1/4+zln2-3z/4

综上所述，Z=xy的概率密度函数为：

f(z)=dF(z)/dz=1/2ln2，0＜z＜1

f(z)=1/2-z/2，1≤z≤2

当z＜0或z＞2时，f(z)=0。

相关问题

设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜1]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数

首先可以列出Z=xy的取值范围为[0,2)。接下来，可以通过变量变换法求出Z的概率密度函数。

设变量变换为：

u = x

v = xy

则反函数为：

x = u

y = v/u

通过计算Jacobian行列式可以得到：

|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1

因此，有：

f_UV(u,v) = f_XY(x,y)|J| = 1/2

因为X和Y在D区域内服从均匀分布，所以它们的概率密度函数为：

f_XY(x,y) = 1/(2×1) = 1/2

综上所述，Z=xy的概率密度函数为：

f_Z(z) = ∫f_UV(u,z/u)|du| = ∫₀²1/2×1/u|du| = 1/2×ln(2/z)，其中0＜z＜2。

设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜2]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数

同样地，可以通过变量变换法求出Z=xy的概率密度函数。

设变量变换为：

u = x

v = xy

则反函数为：

x = u

y = v/u

通过计算Jacobian行列式可以得到：

|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1

因此，有：

f_UV(u,v) = f_XY(x,y)|J| = 1/4

因为X和Y在D区域内服从均匀分布，所以它们的概率密度函数为：

f_XY(x,y) = 1/(2×2) = 1/4

综上所述，Z=xy的概率密度函数为：

f_Z(z) = ∫f_UV(u,z/u)|du| = ∫₀²1/4×1/u|du| = 1/4×ln(2/z)，其中0＜z＜4。