4、有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是一道经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将前i件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

考虑第i件物品，有两种情况：

1. 不选第i件物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；

2. 选第i件物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]；

最终的答案即为dp[N][V]。

根据上述状态转移方程，可以得到以下动态规划代码：

int dp[N+1][V+1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= V; j++) {
if (j < w[i]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
else {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
}
cout << dp[N][V] << endl;

时间复杂度为O(NV)，空间复杂度为O(NV)。

相关问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这是一个经典的动态规划问题，可以用 01 背包算法来解决。

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。则有以下状态转移方程：

当 j < w[i] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，即当前背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不装入背包，价值为上一个状态的价值。

当 j >= w[i] 时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+p[i])，即当前背包容量可以放下第 i 件物品，我们就需要考虑是选择装入第 i 件物品，还是不装入背包，取决于哪种情况下价值最大。

最终的答案即为 dp[N][V]，其中 N 表示物品的数量，V 表示背包的容量。

下面是该问题的 Python 代码实现：

def knapsack(N, V, w, p):
    dp = [[0 for _ in range(V+1)] for _ in range(N+1)]
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, V+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1])
    return dp[N][V]

其中，N 表示物品数量，V 表示背包容量，w 表示物品的重量，p 表示物品的价值。

例如，我们有 5 件物品，其重量和价值分别为：

w = [2, 2, 6, 5, 4]

p = [6, 3, 5, 4, 6]

背包容量为 10，则可以调用函数 knapsack(5, 10, w, p) 来求解最大价值，得到结果为 15。

给定N件物品和一个容量为V的背包，每件物品有固定的重量Ci和价值Wi。目标是选择若干件物品放入背包中，刚好装满背包，且使得背包中的物品总价值最大。请给出具体的代码

这个问题属于0-1背包问题，它是动态规划的一个经典应用。动态规划通常用于解决最优化问题，其中一个问题的状态可以通过其子状态来构建。以下是使用Python描述的一个简单解决方案：

def knapsack(W, wt, val, n):
    # 创建一个二维数组，初始化为负无穷大
    K = [[0 for w in range(W+1)] for i in range(n+1)]

    # 构建动态规划表
    for i in range(1, n+1):
        for w in range(1, W+1):
            if wt[i-1] <= w:
                # 如果物品i可以放入背包且不超出容量
                K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w])
            else:
                # 如果物品i无法放入当前背包
                K[i][w] = K[i-1][w]

    return K[n][W]

# 示例
val = [60, 100, 120]
wt = [10, 20, 30]
W = 50
n = len(val)
max_value = knapsack(W, wt, val, n)

print("最大价值为:", max_value)

在这个代码中，`knapsack`函数接收背包的容量、物品的重量列表、价值列表和物品数量作为输入，然后通过计算每个状态（背包容量w和已考虑的物品数i）的最大价值来填充动态规划表。