4、有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i],价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。
时间: 2023-11-22 13:33:06 浏览: 51
这是一道经典的背包问题,可以使用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示将前i件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
考虑第i件物品,有两种情况:
1. 不选第i件物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j];
2. 选第i件物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i];
最终的答案即为dp[N][V]。
根据上述状态转移方程,可以得到以下动态规划代码:
int dp[N+1][V+1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= V; j++) {
if (j < w[i]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
else {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
}
cout << dp[N][V] << endl;
时间复杂度为O(NV),空间复杂度为O(NV)。
相关问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
这是一个经典的动态规划问题,可以用 01 背包算法来解决。
定义一个二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。则有以下状态转移方程:
当 j < w[i] 时,dp[i][j] = dp[i-1][j],即当前背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不装入背包,价值为上一个状态的价值。
当 j >= w[i] 时,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+p[i]),即当前背包容量可以放下第 i 件物品,我们就需要考虑是选择装入第 i 件物品,还是不装入背包,取决于哪种情况下价值最大。
最终的答案即为 dp[N][V],其中 N 表示物品的数量,V 表示背包的容量。
下面是该问题的 Python 代码实现:
```python
def knapsack(N, V, w, p):
dp = [[0 for _ in range(V+1)] for _ in range(N+1)]
for i in range(1, N+1):
for j in range(1, V+1):
if j < w[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1])
return dp[N][V]
```
其中,N 表示物品数量,V 表示背包容量,w 表示物品的重量,p 表示物品的价值。
例如,我们有 5 件物品,其重量和价值分别为:
w = [2, 2, 6, 5, 4]
p = [6, 3, 5, 4, 6]
背包容量为 10,则可以调用函数 knapsack(5, 10, w, p) 来求解最大价值,得到结果为 15。
给定n种物品和一个背包,物品i的重量是wi,其价值为vi,问如何选择装入背包的物品,使
以下是两种解决背包问题的算法:
1. 0/1背包问题
0/1背包问题是指每种物品仅有一件,可以选择放或不放。用动态规划求解时,设v[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包可以获得的最大价值有以下状态转移方程:
v[i][j] = max{v[i-1][j], v[i-1][j-w[i]] + v[i]} (j>=w[i])
其中,w[i]和v[i]分别表示第i件物品的重量和价值。
2. 完全背包问题
完全背包问题是指每种物品有无限件,可以选择放或不放。同样用动态规划求解时,设v[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包可以获得的最大价值,则有以下状态转移方程:
v[i][j] = max{v[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]} (0<=k*w[i]<=j)
其中,w[i]和v[i]仍然表示第i件物品的重量和价值。
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