给定某数字a(1≤a≤9)以及非负整数n(0≤n≤100000),求数列之和s=a+aa+aaa+⋯+aa⋯a(n个a)。例如a=1, n=3时,s=1+11+111=123
时间: 2023-05-31 18:19:37 浏览: 228
### 回答1:
题目要求我们给定一个数a(1≤a≤9)和非负整数n(1≤n≤100000),求数列之和s=a+aa+aaa+⋯+aa⋯aa(n个)。例如当a=1,n=3时,s=1+11+111=123。
解题思路:
由数学知识可知,s=a+aa+aaa+⋯+aa⋯aa(n个)=a(10^(n-1)+10^(n-2)+⋯+10+1)。我们只需要计算出10^(n-1)+10^(n-2)+⋯+10+1的值,然后与a相乘即可。
代码实现:
a, n = map(int, input().split()) # 输入a和n
sum = 0 # 用于存储10^(n-1)+10^(n-2)+⋯+10+1的和
for i in range(n):
sum += 10**i
s = a * sum # 计算s的值
print(s) # 输出s的值
### 回答2:
这道题目涉及到一个比较典型的算法——数列求和。我们可以把这个数列分解成对应位数的等比数列。具体来说,对于第i位,它的值即为a乘以一个以10为底,有i-1个a组成的等比数列的和,即:
a + 10a + 100a + … + 10^(i-1)a
这是一个等比数列,可以根据等比数列求和公式得出:
a * (10^i - 1) / 9
因此,我们只需要把每位上的数列求和,然后再对所有位数的结果求和即可。具体来说,对于数字a的长度为m,我们可以这样计算:
s = ∑^m_{i=1} a * (10^i - 1) / 9 * (a^(n-i+1))
其中,a^(n-i+1)表示a的(n-i+1)次方。这个公式的意思是,对于每一个数位i,我们首先把对应的等比数列求和得到a * (10^i - 1) / 9,然后乘上a的(n-i+1)次方,表示这个数列出现的次数。最后把所有位数的结果求和即为最终答案。
这个算法的时间复杂度为O(m),即a的位数。由于a最大只有9,所以它的位数非常小,实际运行效率非常高。需要注意的是,当n=0时,数列的和为0,需要特殊处理。
### 回答3:
这道题本质上就是一个等比数列求和问题,只不过需要将每一项都表示出来才能求和。
首先,我们可以根据题目要求得到每一项的表达式,比如当a=2时,第一项是2,第二项是22=2×10+2,第三项是222=2×100+2×10+2,以此类推,第n项就是n个2连起来,即2×(1+10+...+10^(n-1))加上n个2。其中,1+10+...+10^(n-1)是一个等比数列,可以直接用等比数列求和公式求出。
那么,我们现在的问题就是如何求出1+10+...+10^(n-1)。这里有一个简单的方法,我们将1+10+...+10^(n-1)从后往前求和,每一步将前一步的和乘以10再加上当前的项,第一步时前一步的和是0,当前的项是1,因此可以得到如下代码:
```python
def sum_of_geometric_sequence(n: int) -> int:
s = 0
x = 1
for i in range(n):
s = s * 10 + x
x *= 10
return s
```
有了这个函数之后,就可以很方便地计算出每一项的值,从而求出整个数列的和了。代码如下:
```python
def sum_of_sequence(a: int, n: int) -> int:
s = 0
x = a
for i in range(n):
s += x
x = x * 10 + a
return s
if __name__ == '__main__':
print(sum_of_sequence(2, 3)) # 246
```
上面的代码中,a是数列中的基数,n是数列中的项数,sum_of_sequence函数返回数列的和。可以看到,当a=2,n=3时,输出的结果是246,与手算的结果相符。
综上所述,本题的解法可以分为两个步骤:
1. 求出1+10+...+10^(n-1)的值,即求解等比数列求和。
2. 根据每一项的表达式求出数列中每一项的值,从而求出整个数列的和。