7-1 用格里高利公式求给定精度的PI值
时间: 2024-03-25 22:40:21 浏览: 247
格里高利公式是一种数值计算方法,可以用来计算圆周率π的近似值。该公式的表达式为:
π = 4 × arctan(1) = 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...)
其中,arctan(x)表示反正切函数,其定义域为[-π/2, π/2],值域为[-π/2, π/2]。
要求给定精度的π值,可以通过不断累加格里高利公式中的每一项来逐步逼近π。具体来说,可以设置一个误差限,当当前计算出的π值与上一次计算出的π值之差小于误差限时,就可以结束计算。
以下是一个用C++实现的求解π的代码示例,其中精度设置为0.000001:
```c++
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
double pi = 0.0;
double eps = 0.000001; // 精度设置为0.000001
double delta = 0.0;
int n = 0;
do {
delta = 4.0 * pow(-1.0, n) / (2 * n + 1); // 格里高利公式中的每一项
pi += delta; // 累加每一项
n++;
} while (fabs(delta) >= eps); // 当项数小于误差限时结束计算
cout << "PI = " << pi << endl;
return 0;
}
```
相关问题
例题4-1 用格里高利公式求给定精度的pi值
格里高利公式是一种计算圆周率的公式,可以用来求给定精度的pi值。具体步骤如下:
1. 设定精度要求,例如要求计算出pi值的小数点后10位。
2. 根据格里高利公式,计算出pi值的近似值。公式如下:
pi ≈ 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...)
其中,每一项的分母为奇数,分子为1或-1,符号交替出现。
3. 计算出pi值的误差。误差可以通过比较近似值和真实值的差来计算。
4. 如果误差小于设定的精度要求,则输出近似值作为pi值;否则,继续计算下一项,直到误差满足精度要求为止。
需要注意的是,格里高利公式是一种无限级数,因此计算时需要考虑到精度和计算效率的平衡。
如何使用格里高利公式求给定精度的PI值
格里高利公式,也称为莱布尼茨公式,是一种用于计算圆周率π的无限级数,其表达式是这样的:
\[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots \]
这个级数的特点是正负交替,并且每一项的分母是奇数,分子永远为1。为了使用此公式得到特定精度的π值,你需要执行以下步骤:
1. **初始化**:设置π的初始估计值为 \( \frac{\pi}{4} \) 和误差限,通常选择一个小于所需精度的值。
2. **迭代**:从第2项开始,依次计算每一项的绝对值并加到当前π的估计值上,然后改变符号。例如,第一次加的是 \(-\frac{1}{3}\),第二次加的是 \(\frac{1}{5}\),以此类推。
3. **判断收敛**:当连续几轮加减后的变化小于预设的误差限时,认为级数已经足够精确,停止计算。可以设定一个阈值,比如0.00001,作为判断是否达到所需精度的标准。
4. **结果调整**:由于我们只取了 \(\frac{\pi}{4}\),所以最后的结果需要乘以4来获得π的近似值。
下面是一个简单的Python示例,演示如何使用格里高利公式计算π的近似值:
```python
def compute_pi(n_terms, error_threshold):
pi_4 = 1
numerator = 1
denominator = 1
term = numerator / denominator
for _ in range(1, n_terms):
pi_4 += (-1)**(_+1) * term
denominator += 2
term = numerator / denominator
return 4 * pi_4 if abs(pi_4 - last_computed_value) < error_threshold else None
# 示例:计算1000项的π值
last_computed_value = None
accuracy = 1e-6
approximate_pi = compute_pi(1000, accuracy)
```
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