def cost_derivative(self, output_activations, y): return (output_activations - y)改为交叉熵损失函数的导数

如果使用交叉熵损失函数，则代价函数的公式为：
$$
C = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [y_i \ln a_i + (1-y_i) \ln (1-a_i)]
$$
其中，$n$ 为样本数量，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签，$a_i$ 表示模型预测的标签。

对代价函数求导有：
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial C}{\partial a_i} &= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i} - \frac{1-y_i}{1-a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i(1-a_i)} - \frac{1-y_i}{(1-a_i)a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i(1-a_i)} - \frac{1}{a_i} + \frac{1}{1-a_i} - \frac{1-y_i}{(1-a_i)a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i-a_i}{a_i(1-a_i)} \right]
\end{aligned}
$$

因此，交叉熵损失函数的导数为：
$$
\frac{\partial C}{\partial z_i} = a_i - y_i
$$
其中，$z_i$ 表示第 $i$ 个样本的输出结果经过 sigmoid 函数激活后的值。