5个物品，重量分别是2，4，3， 4 ，5；价值分别是3，6，4，2，4。背包容量12。 请写出m矩阵以及矩阵中各元素的值。写出最优解以及最优价值

### 回答1：
抱歉，我可以回答这个问题。这是一个典型的背包问题，可以使用动态规划算法来解决。我们设m[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，其中i从0到5，j从0到12。初始条件为m[0][j] = 0和m[i][0] = 0。则状态转移方程为：

m[i][j] = max(m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。矩阵中第i行第j列表示放入前i个物品，背包容量为j时所能获得的最大价值。根据状态转移方程，可以得到如下的m矩阵：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
0 0 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6
0 0 3 4 6 7 7 7 10 10 10 10 10
0 0 3 4 6 7 7 8 10 11 11 11 14
0 0 3 4 6 7 7 8 10 11 11 12 14

其中最后一行最后一列的元素14表示最大价值。而最优解可以通过倒推m矩阵来得到，具体方法可以参考动态规划求解背包问题的经典算法。

### 回答2：
首先，我们可以使用动态规划来解决背包问题。

定义一个m矩阵，其中第i行j列表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

初始化m矩阵中所有元素为0，即m[i][j] = 0。

接下来，我们逐个考虑每个物品，并计算对应的m矩阵元素。

对于第一个物品，即2重量，3价值：

当背包容量大于等于2时，可以放入背包，即m[1][2] = 3。

当背包容量大于等于4时，可以放入背包，即m[1][4] = 3。

当背包容量大于等于6时，可以放入背包，即m[1][6] = 3。

当背包容量大于等于8时，可以放入背包，即m[1][8] = 3。

当背包容量大于等于10时，可以放入背包，即m[1][10] = 3。

当背包容量大于等于12时，可以放入背包，即m[1][12] = 3。

对于第二个物品，即4重量，6价值：

当背包容量大于等于4时，可以放入背包，即m[2][4] = 6。

当背包容量大于等于6时，可以放入背包，即m[2][6] = 6。

当背包容量大于等于8时，可以放入背包，即m[2][8] = max(6, m[1][8]) = max(6, 3) = 6。

当背包容量大于等于10时，可以放入背包，即m[2][10] = max(6, m[1][10]) = max(6, 3) = 6。

当背包容量大于等于12时，可以放入背包，即m[2][12] = max(6, m[1][12]) = max(6, 3) = 6。

对于第三个物品，即3重量，4价值：

当背包容量大于等于3时，可以放入背包，即m[3][3] = 4。

当背包容量大于等于5时，可以放入背包，即m[3][5] = max(4, m[2][5]) = max(4, 6) = 6。

当背包容量大于等于7时，可以放入背包，即m[3][7] = max(4, m[2][7]) = max(4, 6) = 6。

当背包容量大于等于9时，可以放入背包，即m[3][9] = max(4, m[2][9]) = max(4, 6) = 6。

当背包容量大于等于11时，可以放入背包，即m[3][11] = max(4, m[2][11]) = max(4, 6) = 6。

当背包容量大于等于12时，可以放入背包，即m[3][12] = max(4, m[2][12]) = max(4, 6) = 6。

对于第四个物品，即4重量，2价值：

当背包容量大于等于4时，可以放入背包，即m[4][4] = 2。

当背包容量大于等于6时，可以放入背包，即m[4][6] = max(2, m[3][6]) = max(2, 6) = 6。

当背包容量大于等于8时，可以放入背包，即m[4][8] = max(2, m[3][8]) = max(2, 6) = 6。

当背包容量大于等于10时，可以放入背包，即m[4][10] = max(2, m[3][10]) = max(2, 6) = 6。

当背包容量大于等于12时，可以放入背包，即m[4][12] = max(2, m[3][12]) = max(2, 6) = 6。

对于第五个物品，即5重量，4价值：

当背包容量大于等于5时，可以放入背包，即m[5][5] = 4。

当背包容量大于等于7时，可以放入背包，即m[5][7] = max(4, m[4][7]) = max(4, 2) = 4。

当背包容量大于等于9时，可以放入背包，即m[5][9] = max(4, m[4][9]) = max(4, 2) = 4。

当背包容量大于等于11时，可以放入背包，即m[5][11] = max(4, m[4][11]) = max(4, 2) = 4。

当背包容量大于等于12时，可以放入背包，即m[5][12] = max(4, m[4][12]) = max(4, 2) = 4。

最后，m矩阵的最后一个元素m[5][12]即为所求最优解的最大价值，即6。而最优解为选择第二个物品和第三个物品，总重量为4+3=7，总价值为6+4=10。

### 回答3：
根据所给的物品重量和价值，我们可以使用动态规划方法求解背包问题。

首先，我们可以创建一个 (n+1) x (w+1) 的矩阵 m，其中 n 是物品的个数，w 是背包的容量。矩阵中的每个元素 m[i][j] 表示在前 i 个物品中选择放入一个容量为 j 的背包中的物品的最优解（即最大价值）。

根据动态规划的思想，我们可以得出以下状态转移方程：

m[i][j] = max{m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]] + v[i]}
其中，m[i-1][j] 表示不放入第 i 个物品时的最优解，m[i-1][j-w[i]] + v[i] 表示放入第 i 个物品时的最优解，w[i] 和 v[i] 分别表示第 i 个物品的重量和价值。

根据上述状态转移方程，我们可以计算出矩阵 m 中每个元素的值，具体步骤如下：

1. 初始化矩阵 m 的第一行和第一列为 0。
2. 对于矩阵 m 的每个元素 m[i][j]，分为两种情况：
- 若 j < w[i]，则 m[i][j] = m[i-1][j]，即背包容量不足以放入第 i 个物品，不放入该物品。
- 若 j >= w[i]，则 m[i][j] = max{m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]] + v[i]}，即选择放入第 i 个物品或者不放入该物品中的最大值。

最后我们将矩阵 m 的最后一个元素 m[n][w] 的值即为最优解（背包中物品的最大价值）。

根据题目给出的数据，我们可以计算出矩阵 m 如下所示：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 0 0 3 3 6 6 9 9 9 9 9 9 9
3 0 0 3 4 6 7 9 10 11 11 14 14 17
4 0 0 3 4 6 7 9 10 13 14 16 17 19
5 0 0 3 4 6 7 9 10 13 14 16 17 19

根据矩阵 m 的最后一个元素 m[5][12]（即 m[n][w]）的值为 19，表示在给定背包容量为 12 时，放入这 5 个物品可以得到的最优价值是 19。

最优解的具体放入方案为：第 1 个物品放入、第 2 个物品放入、第 4 个物品放入和第 5 个物品放入，共 4 个物品的重量为 2 + 4 + 4 + 5 = 15，小于背包的容量 12。这些物品的总价值是 3 + 6 + 2 + 4 = 15，即为最优价值。

因此，在给定的背包容量和物品的重量、价值下，最优解为放入第 1、2、4 和 5 个物品，最优价值为 19。