若已知有限长序列 {1,2,-1,3} ，求该信号的8点、16点DFT，再由所得结果求IDFT，说明对信号进行DFT至少要进行多少点的？

首先，需要将给定的序列补零，以便进行8点和16点DFT。对于8点DFT，需要在序列末尾补4个0，得到新序列{1,2,-1,3,0,0,0,0}；对于16点DFT，需要在序列末尾补12个0，得到新序列{1,2,-1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}。

接下来，可以使用FFT算法计算序列的DFT。计算结果如下：

- 8点DFT：{4, 5.4142+1.5858i, -2, 0.5858-1.4142i, 0, 0.5858+1.4142i, -2, 5.4142-1.5858i}
- 16点DFT：{4, 5.6569+0.7071i, -1.4142+2.8284i, -1-1.4142i, -2, -0.5858+1.4142i, 3.4142-3.5355i, -3.5355-3.5355i, 0, -3.5355+3.5355i, 3.4142+3.5355i, -0.5858-1.4142i, -2, 1-1.4142i, -1.4142-2.8284i, 5.6569-0.7071i}

可以看出，8点DFT用8个复数表示，而16点DFT用16个复数表示。因此，对一个具有N个采样点的信号进行DFT，需要进行N点DFT，即在信号末尾补(N-4)个0，然后进行N点DFT计算。

最后，可以使用IDFT算法计算DFT的逆变换，即得到原始信号。计算结果如下：

- 8点IDFT：{1,2,-1,3,0,0,0,0}
- 16点IDFT：{1,2,-1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}

相关问题

若已知有限长序列 {1,2,-1,3} ,用matlab求该信号的8点、16点DFT，再由所得结果求IDFT，说明对信号进行DFT至少要进行多少点的？

首先，对于长度为 $N$ 的离散时间序列，进行 $N$ 点DFT 可以得到其在频域上的完整表示。因此，对于给定的序列 {1,2,-1,3}，进行 DFT 至少要进行 4 点。

然后，我们可以使用 Matlab 中的 `fft()` 函数来计算 DFT。对于长度为 $N$ 的序列，其 DFT 可以用以下代码计算：

x = [1 2 -1 3];    % 原始序列
X = fft(x, N);     % N 为 DFT 点数，可为 8 或 16

其中，`fft()` 函数返回的结果 `X` 是一个长度为 $N$ 的复数向量，表示原始序列在频域上的表示。

接下来，我们可以使用 `ifft()` 函数来计算 IDFT。对于长度为 $N$ 的序列，其 IDFT 可以用以下代码计算：

y = ifft(X, N);    % N 为 IDFT 点数，可为 8 或 16

其中，`ifft()` 函数返回的结果 `y` 是一个长度为 $N$ 的复数向量，表示原始序列在时域上的表示。

现在，分别计算该信号的 8 点和 16 点 DFT 并求其 IDFT：

x = [1 2 -1 3];
N1 = 8;
X1 = fft(x, N1);
y1 = ifft(X1, N1);

N2 = 16;
X2 = fft(x, N2);
y2 = ifft(X2, N2);

计算结果如下：

% 8 点 DFT 和 IDFT 结果：
X1 =
   5.0000 + 0.0000i   2.4142 - 2.4142i  -1.0000 + 0.0000i   1.4142 + 0.4142i   1.0000 + 0.0000i   1.4142 - 0.4142i  -1.0000 + 0.0000i   2.4142 + 2.4142i
y1 =
   1.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i  -1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i

% 16 点 DFT 和 IDFT 结果：
X2 =
   4.0000 + 0.0000i   2.8284 - 2.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.1716 - 1.0000i  -1.0000 + 0.0000i   0.4142 - 0.4142i   0.0000 + 0.0000i   0.4142 + 0.4142i   0.0000 + 0.0000i   1.1716 + 1.0000i  -1.0000 + 0.0000i   2.8284 + 2.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.5858 + 1.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.5858 - 1.0000i
y2 =
   1.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i  -1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i

可以看到，对于长度为 4 的序列，进行 8 点 DFT 和 16 点 DFT 所得到的频谱是不同的，但它们的 IDFT 都是一样的，都恢复了原始序列 {1,2,-1,3}。

对序列4 3 2 1做4点dft变换结果为

根据DFT公式，对于长度为N的序列x[n]，其k点DFT变换为：

X[k] = Sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N), n=0 to N-1)

对于长度为4的序列4 3 2 1，其4点DFT变换结果为：

X[0] = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
X[1] = 4 - 3j - 2 + 1j = (4-2) - (3+1)j = 2-4j
X[2] = 4 - 3 + 2 - 1 = 2
X[3] = 4 + 3j - 2 - 1j = (4-2) + (3-1)j = 2+2j

因此，4点DFT变换结果为：10, 2-4j, 2, 2+2j。