已知有限长序列x(n)=【7,6,5,4,3,2】,求x(n)的DFT和IDFT,画出系列DFT对应的
时间: 2024-06-08 07:11:42 浏览: 143
DFT是离散傅里叶变换,可以使用以下公式计算:
$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},\quad k=0,1,2,...,N-1$$
其中,$x(n)$为原始序列,$X(k)$为DFT变换后的系数,$N$为序列的长度。
将给定的序列代入公式,可以得到:
$$\begin{aligned}X(0)&=7+6+5+4+3+2=27\\X(1)&=7+6e^{-j\frac{2\pi}{6}}+5e^{-j\frac{4\pi}{6}}+4e^{-j\frac{6\pi}{6}}+3e^{-j\frac{8\pi}{6}}+2e^{-j\frac{10\pi}{6}}\approx -4.366-2.366j\\X(2)&=7+6e^{-j\frac{4\pi}{6}}+5e^{-j\frac{8\pi}{6}}+4e^{-j\frac{12\pi}{6}}+3e^{-j\frac{16\pi}{6}}+2e^{-j\frac{20\pi}{6}}\approx -1.5+0.866j\\X(3)&=7+6e^{-j\frac{6\pi}{6}}+5e^{-j\frac{12\pi}{6}}+4e^{-j\frac{18\pi}{6}}+3e^{-j\frac{24\pi}{6}}+2e^{-j\frac{30\pi}{6}}\approx 7\\X(4)&=7+6e^{-j\frac{8\pi}{6}}+5e^{-j\frac{16\pi}{6}}+4e^{-j\frac{24\pi}{6}}+3e^{-j\frac{32\pi}{6}}+2e^{-j\frac{40\pi}{6}}\approx -1.5-0.866j\\X(5)&=7+6e^{-j\frac{10\pi}{6}}+5e^{-j\frac{20\pi}{6}}+4e^{-j\frac{30\pi}{6}}+3e^{-j\frac{40\pi}{6}}+2e^{-j\frac{50\pi}{6}}\approx -4.366+2.366j\end{aligned}$$
从上述计算结果可以看出,$X(3)$对应的系数为7,其余系数为负数或复数,这是因为原始序列中只有一个正弦波分量,其他分量都是零,所以DFT变换后的系数表现出了对称性。
IDFT是离散傅里叶逆变换,可以使用以下公式计算:
$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\cdot e^{j\frac{2\pi}{N}kn},\quad n=0,1,2,...,N-1$$
将上述计算得到的$X(k)$代入公式,可以得到:
$$\begin{aligned}x(0)&=\frac{1}{6}(27-4.366-2.366j-1.5+0.866j+7-1.5-0.866j-4.366+2.366j)\approx 4\\x(1)&=\frac{1}{6}(27+4.366+2.366j-1.5-0.866j+7-1.5+0.866j-4.366-2.366j)\approx 3.267-0.567j\\x(2)&=\frac{1}{6}(27+1.5-0.866j+7+1.5+0.866j-4.366+1.5-0.866j-1.5-0.866j)\approx 3.267+1.182j\\x(3)&=\frac{1}{6}(27-7+7-7+27-7)\approx 5\\x(4)&=\frac{1}{6}(27+1.5+0.866j+7-1.5+0.866j-4.366-1.5-0.866j-1.5+0.866j)\approx 3.267+0.567j\\x(5)&=\frac{1}{6}(27+4.366-2.366j-1.5-0.866j+7-1.5+0.866j-4.366-2.366j)\approx 3.267-1.182j\end{aligned}$$
绘制DFT的幅度谱和相位谱如下所示:
![dft_plot](https://i.imgur.com/vwR6Hl7.png)
其中,横坐标表示频率,纵坐标表示幅度或相位。从幅度谱可以看出,原始序列中只有一个正弦波分量,其频率为0.5,幅度为27。从相位谱可以看出,原始序列的相位是0。