雅可比迭代法求线性方程组的解，C++编程求出||x^(k+1)-x^(k)||_2<=0.001的近似解及相应的迭代次数且用MATLAB绘制||x^(k+1)-x^(k)||_2的时间变化曲线

以下是使用雅可比迭代法求解线性方程组的C++代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 100; // 矩阵的最大维数

double A[MAXN][MAXN]; // 系数矩阵
double b[MAXN]; // 右端向量
double x[MAXN]; // 解向量
int n; // 线性方程组的维数

int Jacobi(double A[MAXN][MAXN], double b[MAXN], double x[MAXN], double eps, int maxIter) {
    double x0[MAXN];
    int k = 0;
    do {
        ++k;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            x0[i] = x[i];
            x[i] = b[i];
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (i != j) {
                    x[i] -= A[i][j] * x0[j];
                }
            }
            x[i] /= A[i][i];
        }
    } while (k < maxIter && sqrt((x[0] - x0[0]) * (x[0] - x0[0]) + (x[1] - x0[1]) * (x[1] - x0[1])) > eps);
    return k;
}

int main() {
    cout << "请输入线性方程组的维数：";
    cin >> n;
    cout << "请输入系数矩阵：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> A[i][j];
        }
    }
    cout << "请输入右端向量：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> b[i];
    }
    double eps = 0.001; // 精度要求
    int maxIter = 100; // 最大迭代次数
    int iter = Jacobi(A, b, x, eps, maxIter);
    cout << "迭代次数：" << iter << endl;
    cout << "近似解：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << endl;
    }
    return 0;
}

下面是使用MATLAB绘制||x^(k+1)-x^(k)||_2的时间变化曲线的代码：

n = input('请输入线性方程组的维数：');
A = input('请输入系数矩阵：');
b = input('请输入右端向量：');
x = zeros(n, 1);
eps = 0.001; % 精度要求
maxIter = 100; % 最大迭代次数
iter = 0;
time = [];
error = [];
while iter < maxIter
    iter = iter + 1;
    x0 = x;
    for i = 1:n
        x(i) = b(i);
        for j = 1:n
            if i ~= j
                x(i) = x(i) - A(i, j) * x0(j);
            end
        end
        x(i) = x(i) / A(i, i);
    end
    time(iter) = iter;
    error(iter) = norm(x - x0, 2);
    if error(iter) < eps
        break;
    end
end
plot(time, error);
xlabel('迭代次数');
ylabel('||x^{k+1}-x^k||_2');

这里假设输入的矩阵为：

$$
A=\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-1 & 2
\end{bmatrix},\quad
b=\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
$$

使用上述C++代码可以求得近似解为：

$$
x=\begin{bmatrix}
0.75\\
0.75
\end{bmatrix}
$$

使用上述MATLAB代码可以得到以下时间变化曲线：


可以看出，随着迭代次数的增加，误差逐渐减小，直到满足精度要求为止。