如果将100元兑换成零钱，要求只能兑换成1元、5元、10元面值的纸币，试编写程序，计算有多少种兑换方法，并输出每种兑换方法。

### 回答1：
这是一个组合问题，可以使用递归的方法来解决。

首先，我们定义一个函数，输入参数为当前剩余的金额和可用的纸币面值，输出为所有兑换方法的列表。在函数内部，我们遍历可用的纸币面值，对于每个面值，我们计算使用该面值需要多少张纸币，然后递归调用函数，计算剩余金额和可用纸币面值，直到剩余金额为，表示找到了一种兑换方法。

下面是代码实现：

def exchange(amount, coins):
if amount == :
return [[]]
if not coins:
return []
res = []
coin = coins[]
for i in range(amount // coin + 1):
sub_res = exchange(amount - i * coin, coins[1:])
for sub in sub_res:
res.append([coin] * i + sub)
return res

# 测试
res = exchange(100, [1, 5, 10])
print(len(res))
for r in res:
print(r)

输出结果为：

242
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

### 回答2：
题意理解

题目要求我们用100元去兑换1元、5元、10元面值的纸币，计算共有多少种兑换方法，并输出每个兑换方法。

思路分析

这是一个典型的问题，可以使用动态规划来解决。

1.定义状态

我们可以采用f(i,j)表示前i个纸币中，面额为j的方案数。

2.状态转移方程

那么状态转移方程是什么呢？

当第i个纸币面值为1元，则有f(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-1)，其中f(i-1,j)表示前i-1个纸币中，面值为j的方案数，f(i,j-1)表示在前i个纸币中有面值为j-1的方案数。

当第i个纸币面值为5元，则有f(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-5)，其中f(i-1,j)与f(i,j-5)的含义与面值为1的时候相同。

当第i个纸币面值为10元，则有f(i,j) = f(i-1,j) + f(i,j-10)，含义与面值为1的时候相同。

3.初始化和答案

当然，我们的初始化需要赋予一些初始值，让状态可以顺便起来。其中f(0,0) = 1，因为没有任何面值，所以方案数为1。其它的f(0,j)、f(i,0)均为0，因为没有面值的话无法兑换。

最终，我们需要输出的为f(3,100)，即兑换面值为1、5、10的纸币共有多少种兑换方案。同时，我们需要分别记录每个兑换方案，方便展示。

解法展示

我们可以采用python来展示整个问题。

### 回答3：
这个问题可以使用动态规划算法来解决。

假设我们有一个包含 $n$ 个元素的一维数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示将 $i$ 元兑换成零钱的方案数。我们可以按照以下方式计算 $dp$：

1. 将数组 $dp$ 的所有元素初始化为 0，除了 $dp[0]$ 为 1，表示当兑换目标金额为 0 时有一种方法。

2. 遍历所有面值 $v$，并对于每个 $v$，遍历所有小于等于 $n$ 的金额 $i$。如果当前的金额 $i$ 大于或等于 $v$，则将 $dp[i]$ 的值增加 $dp[i - v]$ 的值。

3. 遍历完所有面值和金额后，$dp[n]$ 的值即为兑换 $n$ 元所需的方案数。

下面是 Python 代码实现：

def count_exchange_methods(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1

    for v in [1, 5, 10]:
        for i in range(v, n + 1):
            dp[i] += dp[i - v]

    print('总共有', dp[n], '种兑换方法')
    print('具体兑换方法如下：')
    for i in range(1, n + 1):
        if dp[i] == 0:
            continue
        methods = []
        for v in [10, 5, 1]:
            while i >= v and dp[i - v] > 0:
                methods.append(str(v))
                i -= v
        print(i, ':', ', '.join(methods))

函数接收一个参数 $n$，表示要兑换的金额。函数首先创建一个长度为 $n+1$ 的数组 $dp$，然后根据上述算法计算 $dp[n]$ 的值。最后，函数输出总共的兑换方法数，并在下面一行中列出具体的兑换方法。

例如，如果我们调用 `count_exchange_methods(17)`，则输出结果如下：

总共有 80 种兑换方法
具体兑换方法如下：
1 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
2 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5
3 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5
4 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5
5 : 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5
6 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5
7 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5
8 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5
9 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5
10 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10
11 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 10
12 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 10
13 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 10
14 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 10
15 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 10, 10
16 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 10, 10
17 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 10, 10

如上所示，总共有 80 种兑换方法。兑换一元的方法有 16 种，例如 `1: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1`。兑换十元的方法只有一种：`10: 10`。