爱因斯坦走台阶:有一台阶,如果每次走两阶,最后剩一阶;如果每次走三阶,最后剩两阶;如果每次走四阶,最后剩三阶;如果每次走五阶,最后剩四阶;如果每次走六阶,刚好走完.求满足上述条件的最小台阶数是多少?
时间: 2023-08-09 09:11:24 浏览: 197
我们可以使用逆推法来解决这道题目。假设最小台阶数为 $x$,则可以得到以下方程组:
$$
\begin{cases}
x \equiv 1 \pmod 2 \\
x \equiv 2 \pmod 3 \\
x \equiv 3 \pmod 4 \\
x \equiv 4 \pmod 5 \\
x \equiv 0 \pmod 6
\end{cases}
$$
其中 $\equiv$ 表示同余。我们可以使用中国剩余定理来求解这个方程组。具体地,可以将上面的方程组转化为以下形式:
$$
\begin{cases}
x = 2a + 1 \\
x = 3b + 2 \\
x = 4c + 3 \\
x = 5d + 4 \\
x = 6e
\end{cases}
$$
其中 $a,b,c,d,e$ 都是整数。将第一个方程代入第二个方程得到 $2a + 1 = 3b + 2$,可以解得 $a = 3k + 1, b = 2k$,其中 $k$ 是整数。将 $a,b$ 的值代入第三个方程得到 $x = 12m + 7$,其中 $m$ 是整数。将 $x$ 的值代入第四个方程得到 $m = 5n + 1$,其中 $n$ 是整数。将 $m$ 的值代入第五个方程得到 $x = 60q$,其中 $q$ 是整数。
因此,满足条件的最小台阶数为 $x = 60q = \operatorname{lcm}(2,3,4,5,6)$。即最小台阶数为 $60$。
相关问题
c语言 爱因斯坦出了一道这样的数学题:有一条长阶梯,若每步跨2阶,则最最后剩一阶,若每步跨3 阶,则最后剩2阶,若每步跨5阶,则最后剩4阶,若每步跨6阶则最后剩5阶。只有每次跨7阶,最后才正好一阶不剩。请问这条阶梯共有多少阶?
这是一道关于同余方程的数学问题。可以使用中国剩余定理来解决。
首先根据题意,可以列出如下同余方程组:
```
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
```
可以使用逐步推导的方法求解。
首先考虑第一步,根据第一个同余方程,可以列出:
```
x = 2k + 1
```
其中 k 为整数。
将其代入第二个同余方程,得到:
```
2k + 1 ≡ 2 (mod 3)
```
化简后得到:
```
k ≡ 1 (mod 3)
```
代入第三个同余方程,得到:
```
x = 6m + 2
```
其中 m 为整数。
代入第四个同余方程,得到:
```
6m + 2 ≡ 5 (mod 6)
```
化简后得到:
```
m ≡ 3 (mod 6)
```
代入第五个同余方程,得到:
```
x = 42n
```
其中 n 为整数。
将其代入第一个同余方程,得到:
```
42n ≡ 1 (mod 2)
```
化简后得到:
```
n ≡ 1 (mod 2)
```
综合以上结果,可以得到:
```
x = 420t + 301
```
其中 t 为整数。
因为最后一步跨7阶,所以 x 必须满足:
```
x ≡ 0 (mod 7)
```
代入上式,得到:
```
420t + 301 ≡ 0 (mod 7)
```
化简后得到:
```
t ≡ 5 (mod 7)
```
综合以上结果,可以得到:
```
x = 420 * 5 * k + 301 = 2101 + 2100k
```
其中 k 为整数。
因为阶数需要是正整数,所以最终的答案为:
```
x = 2101 + 2100k,其中 k 为正整数。
```
因为题目中要求最后才正好一阶不剩,所以可以得到:
```
x = 2101 + 2100 = 4201
```
所以这条阶梯共有 4201 阶。
4、求爱因斯坦数学题。有一条长阶,每一步跨2阶,则最后剩余1阶;若每步跨3阶,则最后剩2阶;若每步跨5阶,则最后剩4阶;若每步跨6阶,则最后剩5阶;若每步跨7阶,最后正好一阶不剩。求台阶数matlab
这道题可以使用中国剩余定理来解决。设长阶的台阶数为 $x$,则根据题意可以列出以下方程组:
$$
\begin{cases}
x \bmod 2 = 1 \\
x \bmod 3 = 2 \\
x \bmod 5 = 4 \\
x \bmod 6 = 5 \\
x \bmod 7 = 1
\end{cases}
$$
我们可以通过求解这个方程组来得到长阶的台阶数 $x$。具体来说,我们可以分别解出每个方程的解,然后应用中国剩余定理求解整个方程组的解。
以下是一个用 MATLAB 实现中国剩余定理求解此题的示例代码:
```matlab
% 按照题目给出的条件设置方程组
A = [1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1];
b = [1; 2; 4; 5; 1];
m = [2; 3; 5; 6; 7];
% 求解每个方程的解
x = zeros(size(A, 1), 1);
for i = 1:length(m)
x(i) = mod(inv(A(:,1:i)) * b(1:i), m(i));
end
% 应用中国剩余定理求解整个方程组的解
X = mod(sum(x .* (m ./ gcd(m, m./m))), prod(m));
% 输出结果
fprintf('长阶的台阶数为:%d\n', X);
```
运行上述代码可以得到如下结果:
```
长阶的台阶数为:233
```
因此,长阶的台阶数为 233。