爱因斯坦的数学题。爱因斯坦出了一道这样的数学题。有一条长阶梯,若每步跨2阶,则最后剩1阶,若每步跨3阶,则最后剩2阶,若每步跨5阶,则最后剩4阶,若每步跨6阶,则最后剩5阶,若每步跨7阶,最后才正好一阶不剩。请问,这条阶梯共多少阶?
时间: 2023-08-31 10:03:15 浏览: 79
### 回答1:
这是一道中国古代数学问题,称为“七十二层奇楼问题”。根据题意,我们可以列出如下方程组:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ (mod 7)
其中,≡ 表示同余。我们可以使用中国剩余定理求解这个方程组,得到 x = 233。因此,这条阶梯共有 233 阶。
### 回答2:
假设这条阶梯共有n阶。
根据题目所给的条件:
1. 若每步跨2阶,则最后剩1阶,即n除以2余1。
2. 若每步跨3阶,则最后剩2阶,即n除以3余2。
3. 若每步跨5阶,则最后剩4阶,即n除以5余4。
4. 若每步跨6阶,则最后剩5阶,即n除以6余5。
5. 若每步跨7阶,则最后才正好一阶不剩,即n除以7余0。
根据中国剩余定理,要解决这个问题,可以先求解以下等式:
n ≡ 1 (mod 2)
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 4 (mod 5)
n ≡ 5 (mod 6)
n ≡ 0 (mod 7)
通过求解以上等式,可以得出n的结果。
根据中国剩余定理的计算过程,可以得出n ≡ 119 (mod 210)。
也就是说,当n除以210余119时,满足以上所有条件。
所以,这条阶梯共有119阶。
### 回答3:
设阶梯的总阶数为n,根据题意可得如下四个方程:
n ≡ 1 (mod 2)
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 4 (mod 5)
n ≡ 5 (mod 6)
首先,根据第一个方程,n-1能被2整除,也就是说n是奇数。
其次,根据第二个方程,n-2能被3整除,也就是说n是与3余数为2的数。而n是奇数,满足这个条件的数是5、11、17等。
再次,根据第三个方程,n-4能被5整除,也就是说n是与5余数为4的数。而n是奇数,满足这个条件的数是9、19、29等。
最后,根据第四个方程,n-5能被6整除,也就是说n是与6余数为5的数。而n是奇数,满足这个条件的数是11、17、23等。
综上所述,共有三个满足条件的数,即n = 11, 17, 23。只有当n = 23时,满足每一步跨7阶最后才剩下一阶不剩的条件。
所以,这条阶梯共有23阶。