爱因斯坦数学题。爱因斯坦曾出过这样一道数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩下1阶，若每步跨3阶，则最后剩下2阶，若每步跨5阶，则最后剩下4阶，若每步跨6阶，则最后剩下5阶，只有每步跨7阶，最后才正好1阶不剩。请问，这条阶梯共有多少阶？

根据题意，设阶梯总共有 $x$ 阶，则有以下方程组：

$$\begin{cases} x \equiv 1 \pmod 2 \\ x \equiv 2 \pmod 3 \\ x \equiv 4 \pmod 5 \\ x \equiv 5 \pmod 6 \\ x \equiv 1 \pmod 7 \end{cases}$$

我们可以通过中国剩余定理来求解，具体步骤如下：

首先，设 $N=2\times3\times5\times6\times7=252$，$N_1=126,N_2=84,N_3=50,N_4=42,N_5=36$。然后，我们可以分别解出以下同余方程的解：

$$\begin{cases} 126t_1 \equiv 1 \pmod 2 \\ 84t_2 \equiv 1 \pmod 3 \\ 50t_3 \equiv 1 \pmod 5 \\ 42t_4 \equiv 1 \pmod 6 \\ 36t_5 \equiv 1 \pmod 7 \end{cases}$$

其中，$t_1=1,t_2=2,t_3=3,t_4=3,t_5=5$。

最后，根据中国剩余定理，方程组的通解为：

$$x \equiv \sum_{i=1}^5 a_iN_it_i \pmod N$$

其中，$a_i$ 是满足 $a_iN_i \equiv 1 \pmod {n_i}$ 的数。易得 $a_1=1,a_2=2,a_3=1,a_4=3,a_5=1$。

将 $a_i,N_i,t_i$ 代入上式，可以得到 $x=233$。

因此，这条阶梯共有 $233$ 阶。

相关问题

爱因斯坦曾出过这样一道数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，最后剩下1阶；若每步跨3阶，最后剩下2阶；若每步跨5阶，最后剩下4阶；若每步跨6阶，则最后剩下5阶；只有每步跨7阶，最后才正好1阶不剩。

### 回答1：
这是一道数学题，爱因斯坦曾经出过类似的题目：有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩1阶；若每步跨3阶，则最后剩2阶；若每步跨5阶，则最后剩4阶；若每步跨6阶，则最后剩5阶；只有每步跨7阶才正好走完，求这条阶梯共有多少阶。

### 回答2：
这道数学题是一个典型的同余方程问题，可以用中国剩余定理来解决。

假设楼梯共有n阶，则根据题意，可以列出以下四个方程组：

n mod 2 = 1
n mod 3 = 2
n mod 5 = 4
n mod 6 = 5

我们可以使用中国剩余定理来将这四个方程组化为一个同余方程：

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)

首先，我们可以通过第一个方程得到x的范围：x = 2k + 1 (k为整数)。

接下来，我们将第二个方程化为x ≡ -1 (mod 3)；将第三个方程化为x ≡ -1 (mod 5)；将第四个方程化为x ≡ -1 (mod 6)。这样，我们就可以得到以下新的同余方程：

x ≡ -1 (mod 3)
x ≡ -1 (mod 5)
x ≡ -1 (mod 6)

然后，我们可以计算出它们的最小公倍数：3 × 5 × 6 = 90。

因此，我们只需要在x = 2k + 1 (k为整数)的范围内寻找一个满足以上同余方程的最小正整数即可。很容易可以发现，当k = 17时，x = 89即满足条件。

最后，根据题意，只有每步跨7阶，才能正好爬完整个楼梯，因此所求的最小正整数为90 + 1 = 91。因此，这条长阶梯共有91阶。

综上所述，通过中国剩余定理，我们可以很轻松地解决这道数学难题。

### 回答3：
这是一道典型的中国数学问题，也被称为“中国剩余定理”问题。根据题意，我们可以列出以下等式：

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 1 (mod 7)

其中 x 表示楼梯的总阶数，每个等式表示每个跨步的剩余数。

我们可以通过求解这个一元同余方程组来求出楼梯的总阶数。为了简化问题，我们可以分别求出每两个等式的解，再用中国剩余定理将它们合并。

例如，我们先求解第一和第二个等式的解。根据第一个等式，x 必须是奇数。而根据第二个等式，x必须是 2 的倍数加上 2，因此我们可以列出以下式子：

x = 2n + 1 = 3m + 2

通过化简，我们可以得到：

n ≡ 1 (mod 3)
m ≡ 0 (mod 2)

因此，n 的解为 1、4、7、10 等等，而 m 的解为 0、3、6、9 等等。对于第三、四个等式，我们可以得到以下解：

x = 5k + 4 = 6q + 5

通过化简，我们可以得到：

k ≡ 4 (mod 6)
q ≡ 4 (mod 5)

因此，k 的解为 4、10、16、22 等等，而 q 的解为 4、9、14、19 等等。最后，我们再合并第四和第五个等式，可以得到以下解：

x = 5(12t + 5) + 4 = 7s + 1

通过化简，我们可以得到：

t ≡ 1 (mod 7)
s ≡ 2 (mod 5)

因此，t 的解为 1、8、15、22 等等，而 s 的解为 2、9、16、23 等等。最后，我们将这些解带入原方程组，并求出它们的公共解，即可得到答案。

所以，根据以上方法，我们可以得到这条长阶梯共有 119 阶。

爱因斯坦的数学题 爱因斯坦曾出了一道这样的数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩一阶，若每步跨3阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶，则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才正好一阶不剩。请问在1到600内，有多少个数能满足？输出这些数。

这是一个数学问题，我可以回答。根据题意，我们可以列出如下方程组：

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)

其中 x 表示阶梯的总阶数。根据中国剩余定理，这个方程组有唯一解 mod 210，即 x ≡ 119 (mod 210)。因此，所有满足条件的数可以表示为 210k + 119 的形式，其中 k 是整数。在 1 到 600 内，共有 8 个这样的数，它们分别是 119、329、539、749、959、1169、1379 和 1589。

输出这些数：

119, 329, 539, 749, 959, 1169, 1379, 1589。