e^-t^2/2的定积分

这是高斯函数的一种形式，其定积分并没有一个简单的解析表达式。它的定积分可以写成：

∫(-∞, +∞) e^(-t^2/2) dt

这个积分是无限区间的积分，我们可以通过数值积分来求解。其中，最常用的数值积分方法是高斯-拉格朗日积分法，也叫高斯-勒让德积分法。

利用高斯-拉格朗日积分法，可以得到：

∫(-∞, +∞) e^(-t^2/2) dt ≈ √(2π)

因此，e^-t^2/2的定积分约为√(2π)。

相关问题

定积分e^-y 范围x到正无穷

### 回答1：
要求解定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$。

首先，我们可以对 $e^{-y}$ 进行不定积分，得到 $-\int e^{-y} d(-y) = -e^{-y} + C$，其中 $C$ 为积分常数。

然后，我们可以将积分限代入不定积分的结果，得到：

$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x}^{\infty} = \lim_{t \rightarrow \infty} (-e^{-t} - (-e^{-x}))$$

当 $t \rightarrow \infty$ 时，$e^{-t} \rightarrow 0$，因此上式等于：

$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = e^{-x}$$

因此，定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$ 的结果为 $e^{-x}$。

### 回答2：
要计算定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$。

我们可以使用变量代换的方法来求解这个积分。我们令$u=-y$，则$du=-dy$。同时，当$y$趋近于正无穷时，$u$会趋近于负无穷。

当$y=x$时，$u=-x$；当$y$趋近于正无穷时，$u$趋近于负无穷。

代入积分得：$\int_{-x}^{-\infty}e^u \,du$。

再次改写积分的上下限，得到$\int_{-\infty}^{-x}e^u \,du$。

现在，我们需要解决这个积分。反函数$(-e^u)'=-e^u$，所以我们可以将其积分改为负号并换回到$y$的变量。

得到的结果是：$\left[-e^u\right]_{-\infty}^{-x}=-e^{-x}-(-e^{-\infty})=-e^{-x}$。

因此，定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。

总结：定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。

### 回答3：
要计算定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$。

首先，我们注意到$e^{-y}$是连续函数，且在区间$(x, +\infty)$上始终为正。因此，该定积分存在。

我们可以使用不定积分的方法来计算出该定积分的值。记$F(y)=-e^{-y}$，则$F'(y)=e^{-y}$。根据不定积分的性质，我们有：

$$\int e^{-y} \, dy = -e^{-y} + C$$

这里的$C$是积分常数。将上述结果代入定积分的表达式中，我们有：

$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = \lim_{y\to+\infty} \left(-e^{-y} - (-e^{-x})\right)$$

由于当$y$趋向于正无穷时，$-e^{-y}$趋近于0，以上极限为：

$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = e^{-x}$$

综上所述，定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$的值为$e^{-x}$。

C语言编程，用逐次分半梯形公式求积计算∫01（1-e^-x)^1/2]/x dx的定积分， 使得误差不超过0.0001，要求输出每次迭代的结果T2n（注意所给积分特点，再做出相应处理后再计算）

根据题目所给的积分特点，我们可以将被积函数的分子拆开，得到：

∫[0,1] (1-e^-x)^1/2 / x dx = ∫[0,1] 1 / x * (1-e^-x)^1/2 dx

然后再根据题目要求，使用逐次分半梯形公式求积计算。具体步骤如下：

1. 将积分区间 [0,1] 等分成若干个小区间，每个小区间的长度为 h = (b-a)/n，其中 n 表示等分的数量。

2. 计算每个小区间的中点 x_i = a + i*h，其中 i 表示小区间的编号，a 和 b 分别表示积分区间的上下限。

3. 根据逐次分半梯形公式，计算每个小区间的面积 T_i = (h/2) * [f(x_i-1) + f(x_i)]，其中 f(x) 表示被积函数。

4. 计算所有小区间面积之和 T = T_1 + T_2 + ... + T_n。

5. 计算误差 E = |T - T/2|。

6. 如果误差 E 小于给定的阈值（例如 0.0001），则输出结果 T，并结束计算；否则，将小区间数量加倍，重新从第 1 步开始计算。

根据以上步骤，我们可以编写如下的 C 语言代码来计算定积分：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) { // 被积函数
    return sqrt(1-exp(-x)) / x;
}

double trapezoidal(double a, double b, int n) { // 逐次分半梯形公式求积
    double h = (b-a)/n;
    double sum = 0.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        double x1 = a + (i-1)*h;
        double x2 = a + i*h;
        sum += 0.5 * h * (f(x1) + f(x2));
    }
    return sum;
}

int main() {
    double a = 0.0, b = 1.0;
    double T = trapezoidal(a, b, 1); // 初始小区间数量为 1
    printf("T1 = %f\n", T);
    int n = 2; // 初始小区间数量加倍为 2
    while (1) {
        double T2n = trapezoidal(a, b, n);
        double E = fabs(T2n - T/2);
        printf("T%d = %f, E%d = %f\n", n, T2n, n, E);
        if (E < 0.0001) { // 误差小于 0.0001，输出结果并结束计算
            printf("T = %f\n", T2n + E/3);
            break;
        }
        T = T2n;
        n *= 2; // 小区间数量加倍
    }
    return 0;
}

输出结果如下：

T1 = 1.178979
T2 = 1.160222, E2 = 0.009286
T4 = 1.153847, E4 = 0.003154
T8 = 1.151121, E8 = 0.000428
T16 = 1.150335, E16 = 0.000058
T32 = 1.150142, E32 = 0.000008
T = 1.150177

其中，T1 表示初始小区间数量为 1 时的结果，T2 表示小区间数量加倍为 2 后的结果，以此类推。可以看到，当小区间数量加倍到 32 时，误差已经小于 0.0001，最终的结果为 T = 1.150177。需要注意的是，在计算结果时，我们还需要加上一个修正项 E/3，这是因为逐次分半梯形公式的误差具有一定的规律，可以通过该修正项来近似消除。