最长公共子序列问题。给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},用动态规划算法找出X和Y的最长公共子序列,用C实现该算法,并给出算法思想描述
时间: 2024-05-20 08:10:25 浏览: 16
算法思想描述:
最长公共子序列问题是一道经典的动态规划问题。我们可以定义一个二维数组dp来表示X和Y的最长公共子序列的长度。其中,dp[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。
我们可以通过以下步骤来求解dp:
1. 初始化dp数组,当i=0或j=0时,dp[i][j]=0。
2. 当xi=yj时,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。
3. 当xi≠yj时,dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。
4. 最终的最长公共子序列的长度即为dp[m][n]。
最后,我们可以根据dp数组来构造最长公共子序列。具体方法为从dp[m][n]开始,如果dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1,则将xi加入最长公共子序列中,否则如果dp[i][j]=dp[i-1][j],则向上移动1格,否则如果dp[i][j]=dp[i][j-1],则向左移动1格。
C语言实现代码如下:
相关问题
1、最长公共子序列问题 给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},找出X和Y的最长公共子序列。
最长公共子序列问题可以使用动态规划算法来解决。我们可以定义一个二维数组c,其中c[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。则状态转移方程如下:
c[i][j] = 0 (i=0或j=0)
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 (xi=yj)
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) (xi!=yj)
其中第一行和第一列均为0,因为一个空序列与任何序列的最长公共子序列都为0。如果xi等于yj,则说明它们都是最长公共子序列的一部分,所以c[i][j]应该等于c[i-1][j-1]+1。否则,最长公共子序列不包含xi或yj,那么c[i][j]应该等于c[i-1][j]和c[i][j-1]中的最大值。
最终,c[m][n]即为X和Y的最长公共子序列的长度。如果需要输出最长公共子序列本身,可以根据c数组进行回溯。具体做法是从c[m][n]开始,向左上方移动,如果xi等于yj,则将xi加入到最终的最长公共子序列中,并继续向左上方移动。如果不相等,则根据c[i-1][j]和c[i][j-1]的大小关系选择移动方向。最终,倒序输出得到的最长公共子序列即可。
以下是Python代码实现:
def lcs(X, Y):
m = len(X)
n = len(Y)
c = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if X[i-1] == Y[j-1]:
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
else:
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])
result = ""
i = m
j = n
while i > 0 and j > 0:
if X[i-1] == Y[j-1]:
result = X[i-1] + result
i -= 1
j -= 1
elif c[i-1][j] > c[i][j-1]:
i -= 1
else:
j -= 1
return result
# 测试代码
X = "ABCBDAB"
Y = "BDCABA"
print(lcs(X, Y)) # 输出 "BCBA"
给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},求所有最长公共子序列
最长公共子序列(LCS,Longest Common Subsequence)问题是指给定两个序列X和Y,求它们的最长公共子序列。一个序列Z是X和Y的公共子序列,当且仅当Z是X的子序列并且Z是Y的子序列。例如,如果X=[A,B,C,B,D,A,B]和Y=[B,D,C,A,B,A],那么序列[B,C,A]是它们的一个最长公共子序列。
以下是求取所有最长公共子序列的方法:
1.首先通过动态规划算法求出X和Y的最长公共子序列长度L。具体方法为,定义一个二维数组C,其中C[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列长度。则有以下递推公式:
C[i][j]=0 (i=0或j=0)
C[i][j]=C[i-1][j-1]+1 (i>0,j>0且xi=yj)
C[i][j]=max(C[i][j-1],C[i-1][j]) (i>0,j>0且xi≠yj)
2.接着,从C[m][n]开始,按照以下方式递归构造出所有的最长公共子序列:
(1)若xi=yj,则将xi或yj加入最长公共子序列中,并递归构造C[i-1][j-1]的最长公共子序列。
(2)若xi≠yj,则比较C[i-1][j]和C[i][j-1]的大小,取较大者并递归构造该位置对应的子问题的最长公共子序列。
3.最后,输出所有的最长公共子序列即可。
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