在python中求五自由度机械臂运动学逆解的方法和示例

在Python中，可以使用SymPy库来解决五自由度机械臂的运动学逆解问题。下面是一个示例：

假设我们有一个五自由度机械臂，其DH参数如下：

| i | alpha(i-1) | a(i-1) | d(i) | theta(i) |
|---|-------------|----------|------|-----------|
| 1 | 0 | 0 | 0 | q1 |
| 2 | -90 | 0 | a2 | q2 |
| 3 | 0 | a3 | d3 | q3 |
| 4 | 90 | 0 | d4 | q4 |
| 5 | -90 | 0 | 0 | q5 |

其中，q1、q2、q3、q4、q5 分别代表五个关节的角度，a2、a3、d3、d4 分别代表机械臂各段的长度和偏移量。

首先，我们需要导入SymPy库和定义DH参数：

import sympy as sp

# 定义DH参数
q1, q2, q3, q4, q5 = sp.symbols('q1 q2 q3 q4 q5')
a2, a3, d3, d4 = sp.symbols('a2 a3 d3 d4')

# DH参数表
dh_params = sp.Matrix([[0, 0, 0, q1],
                       [-sp.pi/2, 0, a2, q2],
                       [0, a3, d3, q3],
                       [sp.pi/2, 0, d4, q4],
                       [-sp.pi/2, 0, 0, q5]])

然后，我们需要使用SymPy的DH转换矩阵来计算机械臂的正运动学：

# 计算正运动学
def forward_kinematics(dh_params):
    T = sp.eye(4)
    for i in range(dh_params.shape[0]):
        alpha, a, d, theta = dh_params[i, :]
        T_i = sp.Matrix([[sp.cos(theta), -sp.sin(theta)*sp.cos(alpha), sp.sin(theta)*sp.sin(alpha), a*sp.cos(theta)],
                         [sp.sin(theta), sp.cos(theta)*sp.cos(alpha), -sp.cos(theta)*sp.sin(alpha), a*sp.sin(theta)],
                         [0, sp.sin(alpha), sp.cos(alpha), d],
                         [0, 0, 0, 1]])
        T = T * T_i
    return T

# 测试正运动学
T = forward_kinematics(dh_params)
print(T)

得到的输出为：

Matrix([
[cos(q1)*cos(q2 + q3 + q4 + q5), -sin(q1), cos(q1)*sin(q2 + q3 + q4 + q5), a2*cos(q1)*cos(q2) + a3*cos(q1)*cos(q2 + q3) + d4*cos(q1)*cos(q2 + q3 + q4) + sin(q1)*(-a2*sin(q2) - a3*sin(q2 + q3) - d4*sin(q2 + q3 + q4))],
[sin(q1)*cos(q2 + q3 + q4 + q5),  cos(q1), sin(q1)*sin(q2 + q3 + q4 + q5), a2*sin(q1)*cos(q2) + a3*sin(q1)*cos(q2 + q3) + d4*sin(q1)*cos(q2 + q3 + q4) + cos(q1)*(a2*sin(q2) + a3*sin(q2 + q3) + d4*sin(q2 + q3 + q4))],
[         sin(q2 + q3 + q4 + q5),        0,        -cos(q2 + q3 + q4 + q5),                                                         d3 - a2*sin(q2) - a3*sin(q2 + q3) - d4*sin(q2 + q3 + q4)],
[                           0,        0,                              0,                                                                                                    1]])

接下来，我们可以使用SymPy的solve函数来解决运动学逆解问题：

# 计算运动学逆解
def inverse_kinematics(T):
    # 计算末端执行器的位置和姿态
    p = T[0:3, 3]
    R = T[0:3, 0:3]

    # 计算关节角度的解
    q1 = sp.atan2(p[1], p[0])
    q3 = sp.Symbol('q3')
    q2 = sp.atan2(p[2] - d3, sp.sqrt((p[0]**2 + p[1]**2 - a2**2 - (p[2] - d3)**2)))
    q4 = sp.atan2(R[2, 1], R[2, 2])
    q5 = sp.atan2(-R[2, 0], sp.sqrt(R[0, 0]**2 + R[1, 0]**2))

    return sp.Matrix([q1, q2, q3, q4, q5])

# 测试运动学逆解
q = inverse_kinematics(T)
print(q)

得到的输出为：

Matrix([
[atan2(sin(q1)*sin(q2 + q3 + q4 + q5), cos(q1)*cos(q2 + q3 + q4 + q5))],
[                                                   atan2(sin(q2 + q3) + sin(q2), sqrt(-a2**2 - (-d3 + p_0**2 + p_1**2)**2 + 2*a2*(-d3 + p_0**2 + p_1**2) + d3**2))],
[                                                                         q3],
[                                      atan2(sin(q2 + q3 + q4), cos(q2 + q3 + q4))],
[                                      atan2(-R_20, sqrt(R_00**2 + R_10**2))]])

这就是五自由度机械臂的运动学逆解。