给出具体的taylor展开推导复合梯形公式误差的过程

复合梯形公式的一般形式为：

$$\int_a^bf(x)dx\approx T_n(f)=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right]$$

其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+ih$。用复合梯形公式计算积分的误差为：

$$E_n(f)=\int_a^bf(x)dx-T_n(f)=-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$$

其中，$\xi\in(a,b)$。现在我们考虑使用泰勒展开来推导上式。

首先，我们将$f(x)$在$x_i$处泰勒展开，有：

$$f(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i)+\frac{f''(\xi_i)}{2!}(x-x_i)^2$$

其中，$\xi_i\in(x_i,x_{i+1})$。将上式代入复合梯形公式中，得到：

$$\begin{aligned}T_n(f)&=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right]\\&=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]\\&=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}\left(f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+\frac{f''(\xi_i)}{2!}(x_{i+1}-x_i)^2\right)\right]\\&=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}\left(f(x_i)+hf'(x_i)+\frac{h^2}{2}f''(\xi_i)\right)\right]\\&=\int_a^bf(x)dx-\frac{h^2}{12}\left(f''(a)+f''(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f''(\xi_i)\right)\end{aligned}$$

最后一步是使用了简单数学变换，即：

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n-1}f''(\xi_i)&=f''(\xi_1)+f''(\xi_2)+\cdots+f''(\xi_{n-1})\\&\approx\int_a^bf''(x)dx\quad(\text{积分中值定理})\\&=f''(b)-f''(a)\end{aligned}$$

将上式代入误差公式中，得到：

$$E_n(f)=-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$$

其中，$\xi\in(a,b)$，证毕。