设二维随机变量 (X ,Y) 的联合概率密度函数f(x,y)=12x*x*y*y*y,0<x<1,0<y<1;0,else;试求(1)关于 X和Y 的边缘概 率密度函数 fx(X) 与 fy(Y) ;(2)概率 P(Y >X )
时间: 2023-12-30 08:01:55 浏览: 29
(1) 我可以回答这个问题,关于X的边缘概率密度函数fx(X) = 2x^2, 0<x<1;关于Y的边缘概率密度函数fy(Y) = 3y^2, 0<y<1。
(2) P(Y>X) = ∫∫{f(x,y) dy dx} over {y>x},= ∫0^1 ∫0^y 12x^2y^3 dxdy,= 1/8。
相关问题
二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=
首先,根据题意可知,$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$,方差分别为$(1,1)$,协方差为$0.5$的二元正态分布,即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么,我们可以先求出$Z$的均值和方差:
$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$
$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$
因此,$Z$也是一个正态分布,其概率密度函数为:
$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$
化简后可得:
$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$
因此,随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。
二维连续型随机变量及其联合概率密度
二维连续型随机变量是指有两个随机变量 $X$ 和 $Y$,它们可以取到的值是连续的。它们的联合概率密度函数(Joint Probability Density Function,简称联合概率密度)是 $f_{X,Y}(x,y)$,表示同时取到 $X=x$ 和 $Y=y$ 的概率密度。
在二维连续型随机变量中,我们经常需要计算一些概率和期望值。其中,联合概率密度函数的积分可以得到概率:
$$ P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d)=\int_a^b\int_c^d f_{X,Y}(x,y)dydx $$
同时,我们也可以计算 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数(Marginal Probability Density Function)。分别为:
$$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy $$
$$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx $$
边缘概率密度函数是联合概率密度函数在某个维度上的积分。它们分别表示 $X$ 和 $Y$ 单独取到某个值的概率密度。
此外,我们还可以计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差(Covariance)和相关系数(Correlation Coefficient)。它们分别为:
$$ Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] $$
$$ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $$
其中,$E(X)$ 和 $E(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值,$Var(X)$ 和 $Var(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。协方差和相关系数可以用来描述 $X$ 和 $Y$ 之间的关系,其中相关系数的取值范围在 $[-1,1]$ 之间。如果 $\rho_{X,Y} > 0$,则 $X$ 和 $Y$ 为正相关;如果 $\rho_{X,Y} < 0$,则 $X$ 和 $Y$ 为负相关;如果 $\rho_{X,Y} = 0$,则 $X$ 和 $Y$ 为不相关。