设二维随机变量 (X ,Y) 的联合概率密度函数f(x,y)=12x*x*y*y*y,0<x<1,0<y<1;0,else;试求(1)关于 X和Y 的边缘概 率密度函数 fx(X) 与 fy(Y) ；(2)概率 P(Y >X )

(1) 我可以回答这个问题，关于X的边缘概率密度函数fx(X) = 2x^2, 0<x<1；关于Y的边缘概率密度函数fy(Y) = 3y^2, 0<y<1。
(2) P(Y>X) = ∫∫{f(x,y) dy dx} over {y>x}，= ∫0^1 ∫0^y 12x^2y^3 dxdy，= 1/8。

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设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度函数为     − + + ≤ = 0, ( ), ( , ) 2 2 2 2 2 C R x y x y R f x y 其他 （1）求常数 C；（2）当𝑅 = 2时，求𝑃(𝑋2 + 𝑌2 ≤ 1)

（1）要求常数C，需要满足联合概率密度函数的总和为1，即：

∫∫ f(x, y) dx dy = 1

因此，我们需要求出下面的积分：

∫∫0≤𝑟≤2 2π𝑟 dr dθ = 4π

于是，常数C的值为：

C = 1 / (4π)

（2）当R=2时，求P(X2 + Y2 ≤ 1)，可以使用极坐标转换得到：

P(X2 + Y2 ≤ 1) = ∫∫1≤𝑟≤2 2π𝑟 dr dθ = 4π - π = 3π

因此，当R=2时，X和Y满足X2 + Y2 ≤ 1的概率为3π/4π = 3/4.

二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=

首先，根据题意可知，$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$，方差分别为$(1,1)$，协方差为$0.5$的二元正态分布，即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么，我们可以先求出$Z$的均值和方差：

$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$

$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$

因此，$Z$也是一个正态分布，其概率密度函数为：

$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$

化简后可得：

$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$

因此，随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。