[[3,1,0,0],[-4,-1,0,0],[0,0,2,1],[0,0,-1,0]]的最小多项式和约旦标准型
时间: 2023-06-25 22:02:01 浏览: 41
首先,求出该矩阵的特征值和特征向量:
特征值:$\lambda_1=2, \lambda_2=-1, \lambda_3=1, \lambda_4=0$
对应的特征向量为:
$\lambda_1=2$:
$\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\lambda_2=-1$:
$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\lambda_3=1$:
$\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\lambda_4=0$:
$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix}$
接下来,可以将特征向量按照特征值的大小排列,得到矩阵$P$:
$P=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}$
则有:
$P^{-1}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$
则该矩阵的约旦标准型为:
$J=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
最小多项式是$(x-2)x(x+1)$。
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