$$p_i = \frac{n_i + \epsilon}{\sum_{j=1}^k(n_j + \epsilon)},$$能翻译成汉文吗
时间: 2024-06-03 22:13:18 浏览: 12
这是一个概率公式,可以翻译为:对于一组$k$个元素的样本,其中第$i$个元素出现的次数为$n_i$,$\epsilon$为平滑参数,$p_i$表示第$i$个元素出现的概率。公式中,$p_i$等于第$i$个元素出现次数$n_i$乘以平滑参数$\epsilon$,再除以所有元素出现次数$n_j$乘以平滑参数$\epsilon$的总和。
相关问题
针对$\beta_1 =0 \beta_2 = 1$ Wald联合检验python代码
假设我们有一个线性回归模型:$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \epsilon_i$,其中$y_i$是因变量,$x_{i1}$和$x_{i2}$是两个自变量,$\epsilon_i$是误差项。
我们的假设为:$H_0: \beta_1=0, \beta_2=1$,$H_1:$不成立。
我们可以使用Wald检验来检验这个假设。Wald检验的思想是计算检验统计量,然后将其与Wald分布进行比较。
Python代码如下:
```python
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
# 构造数据
np.random.seed(0)
x1 = np.random.normal(0, 1, 100)
x2 = np.random.normal(0, 1, 100)
y = 2 + 3 * x1 + x2 + np.random.normal(0, 1, 100)
# 拟合线性回归模型
X = np.column_stack((np.ones(100), x1, x2))
beta_hat = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
# 计算残差方差估计值
y_hat = X.dot(beta_hat)
mse = np.sum((y - y_hat) ** 2) / (100 - 3)
# 计算Wald检验统计量
R = np.array([0, 1, 0, -1]).reshape((2, 2))
q = np.array([0, 1]).reshape((2, 1))
W = (R.dot(beta_hat - q) ** 2 / (R.dot(np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(R.T)) * mse)).sum()
# 计算p-value
p_value = 1 - chi2.cdf(W, 2)
print('Wald检验统计量:', W)
print('p-value:', p_value)
```
其中,$R$和$q$是构造的限制矩阵和限制向量,分别对应$H_0$中的$\beta_1=0$和$\beta_2=1$。Wald检验统计量为$W=\frac{(R\hat{\beta}-q)^T(R(X^TX)^{-1}R^T)^{-1}(R\hat{\beta}-q)}{\hat{\sigma}^2}$,其中$\hat{\sigma}^2$是残差方差估计值,$\hat{\beta}$是模型的系数估计值。
最后,我们可以计算出Wald检验统计量和p-value,来判断假设是否成立。
def forward(self, x): # b, n, c x_q = self.q_conv(x).permute(0, 2, 1) # b, c, n x_k = self.k_conv(x) x_v = self.v_conv(x) # b, n, n energy = torch.bmm(x_q, x_k) attention = self.softmax(energy) attention = attention / (1e-9 + attention.sum(dim=1, keepdim=True)) # b, c, n x_r = torch.bmm(x_v, attention) x_r = self.act(self.after_norm(self.trans_conv(x - x_r))) x = x + x_r return x
这段代码是一个自注意力机制,用于计算输入$x$的表示。具体来说,它首先将输入$x$分别通过三个卷积层$q_{conv}$、$k_{conv}$和$v_{conv}$映射为三个表示$x_q$、$x_k$和$x_v$,其中$x_q$和$x_k$的维度都是$b\times c\times n$,$x_v$的维度是$b\times n\times c$。
接着,它计算一个能量张量$energy$,通过$x_q$和$x_k$的内积得到,即$energy_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}x_{q_{i,k}}x_{k_{j,k}}$,得到一个$n\times n$的矩阵。然后,通过softmax函数将$energy$转换成注意力张量$attention$,即$attention_{i,j}=\frac{\exp(energy_{i,j})}{\sum_{k=1}^{n}\exp(energy_{i,k})}$,使得$attention$中的每个元素都在$[0,1]$之间且总和为$1$。
接着,对$attention$进行归一化得到标准化注意力张量$attention$,即$attention_{i,j}=\frac{\exp(energy_{i,j})}{\sum_{k=1}^{n}\exp(energy_{i,k})+\epsilon}$,其中$\epsilon=10^{-9}$是一个很小的数,防止分母为$0$。然后,将$x_v$和$attention$进行矩阵乘法得到加权表示$x_r$,即$x_r=\sum_{j=1}^{n}attention_{i,j}x_{v_{i,j}}$,其中$x_{v_{i,j}}$表示$x_v$中第$i$个样本的第$j$个位置的向量。
最后,将$x_r$通过一个残差连接和一个变换层来得到最终的表示$x$,即$x=\text{LayerNorm}(x+\text{ReLU}(\text{Conv1d}(x_r))+\text{Conv1d}(x))$。其中,$\text{Conv1d}$表示一维卷积,$\text{ReLU}$表示ReLU激活函数,$\text{LayerNorm}$表示层归一化。