计算多项式1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+...之和
时间: 2023-05-31 10:19:30 浏览: 421
### 回答1:
这是一个调和级数,可以用调和级数公式来计算:
调和级数公式:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n = ln(n) + γ(其中γ为欧拉常数,约为0.5772)
将原式中的分母都乘以2,得到:
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + ... = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/2
根据调和级数公式,1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的和为ln(∞) + γ,即无穷级数的和为欧拉常数γ加上自然对数的值。
所以,原式的和为:
(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/2 = (ln(∞) + γ)/2 = (ln(∞))/2 + γ/2
由于ln(∞)趋近于无穷大,所以原式的和趋近于无穷大。
### 回答2:
这道题目需要我们应用到数学中的一些知识和技巧,具体地说就是对无穷级数进行求解。首先,我们希望将多项式中的每一项都化为同一分母。
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + ...
= (6/12) + (3/12) + (2/12) + (3/24) + (1/24) + (2/60) + ...
= (6+3+2+3+1+2+...) / 60
现在,我们需要计算数列 6, 3, 2, 3, 1, 2, ... 的和。这个数列的通项公式为:
an = 1 / (2n)(2n-1)
因此,这个数列的前n项和为:
Sn = 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)(2n-1)
= (1/2)*(1-1/2n) = (2n-1)/(2n)
因此,我们可以将原多项式的和表示为:
= [(2×1-1)/2] / 60 + [(2×2-1)/4] / 60 + [(2×3-1)/6] / 60 + ...
= (1/2)×1/60 + (3/4)×1/60 + (5/6)×1/60 + ...
= [(1/2)×1 + (3/4)×1/2 + (5/6)×1/3 + ...] / 60
接下来,我们需要计算这个新的数列的和。对于这个数列中的每一项,我们都可以表示为:
an = (2n-1)/n
因此,这个数列的前n项和为:
Sn = (1/1) + (3/2) + (5/3) + ... + ((2n-1)/n)
这个级数被称为调和级数,它是发散的。也就是说,这个多项式的和是无限大的。
### 回答3:
这道题目其实是一道有关级数求和的问题。给定的多项式表达式为:1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + ...
首先,我们可以对这个表达式进行简化,将每一项的分母提取出来,得到:1/(2 * 1) + 1/(2 * 2) + 1/(2 * 3) + 1/(2 * 4) + 1/(2 * 5) + 1/(2 * 6) + ...
然后,我们发现这个级数是一个调和级数(Harmonic Series),因此可以使用调和级数的求和公式来计算这个表达式的和。
调和级数的求和公式为:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ln(n) + γ,其中n为级数求和的上限,γ为欧拉常数,约等于0.5772156649。
根据这个公式,我们可以得到该多项式的求和结果为:ln(2) + γ,而欧拉常数γ的值已经给出。因此,这个多项式的和为 ln(2) + 0.5772156649,约等于 0.6931471806。
综上所述,计算多项式 1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12 ...之和的结果为0.6931471806。