自动选步长的复化梯形算法代码

以下是自动选步长的复化梯形算法代码：

import numpy as np

def trapezoidal_rule(f, a, b, tol):
    """
    自动选取步长的复化梯形法求解定积分

    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param tol: 精度要求
    :return: 积分值
    """
    n = 1
    h = b - a
    T0 = h * (f(a) + f(b)) / 2
    while True:
        T = 0
        for i in range(n):
            x1 = a + i * h
            x2 = a + (i + 1) * h
            T += (f(x1) + f(x2)) * h / 2
        if np.abs(T - T0) < tol:
            return T
        n *= 2
        h /= 2
        T0 = T

其中，`f` 是被积函数，`a` 和 `b` 分别是积分的下限和上限，`tol` 是精度要求，函数返回积分值。算法首先选取一个初步步长 `h`，计算出初步的积分值 `T0`，然后不断加倍步长，重新计算积分值，直到满足精度要求为止。

相关问题

自动选步长的复化梯形算法

复化梯形算法是数值积分中的一种方法，用于计算定积分的近似值。它的基本思想是将被积函数在积分区间上用若干条等分的直线段逼近，然后计算这些直线段构成的梯形的面积之和，作为积分的近似值。如果直线段的数目越多，那么逼近的精度就越高。

自动选步长的复化梯形算法与普通的复化梯形算法相比，它在计算积分时可以自动选择合适的步长，以保证逼近的精度达到一定的要求。具体来说，它的实现步骤如下：

1. 定义一个误差限，用来控制逼近的精度；
2. 初始时选择一个步长，计算出对应的逼近值；
3. 将积分区间分成若干个子区间，每个子区间的长度为步长的一半；
4. 分别对每个子区间进行逼近，得到逼近值；
5. 计算所有子区间的逼近值之和，作为新的逼近值；
6. 比较新旧逼近值之差与误差限的大小，如果满足要求，则停止计算；否则，将步长减半，重复步骤3-5，直到满足要求为止。

这种算法可以在一定程度上提高计算的效率，减少计算量和运行时间。但是，需要注意的是，如果误差限设置得过小，可能会导致计算结果的不稳定性。因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行调整。

用c++实现自动选步长的复化梯形算法

下面是用C++实现自动选步长的复化梯形算法的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x) {
    return 1 / (1 + x * x); // 定义被积函数
}

double composite_trapezoidal_rule(double a, double b, double eps) {
    int n = 1; // 初始分割数
    double h = (b - a) / n; // 初始步长
    double I1 = h * (f(a) + f(b)) / 2; // 初始积分值
    double I2; // 新的积分值

    do {
        I2 = I1;
        n *= 2;
        h = (b - a) / n;
        I1 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            I1 += f(a + i * h);
        }
        I1 = h * (I1 + (f(a) + f(b)) / 2);
    } while (abs(I2 - I1) >= eps); // 自动选取步长直到精度满足要求

    return I1;
}

int main() {
    double a = 0, b = 1, eps = 1e-6;
    double result = composite_trapezoidal_rule(a, b, eps);
    cout << "The integral value is: " << result << endl;
    return 0;
}

在以上代码中，`f` 函数定义了被积函数；`composite_trapezoidal_rule` 函数实现了自动选步长的复化梯形算法；`main` 函数中给出了被积分区间 `[0,1]` 和精度要求 `1e-6`，并输出计算得到的积分值。

需要注意的是，在自动选步长的复化梯形算法中，除了初始的积分值和步长，还需要计算新的积分值，并通过比较新旧积分值的差来判断是否满足精度要求。如果不满足，继续增加分割数，重新计算积分值，直到满足精度要求为止。