用动态规划算法求解下面的组合优化问题: max g1(x1)+g2(x2)+g3(x3) x12+X22+X32≤10 X1,X2,X3为非负整数其中函数g1(x1),g2(x2) g3(x3)的值给在下表中, (1)要求列出递推关系及初值。 (2)求本例的解及x1,x2,x3值。
时间: 2023-06-13 07:02:17 浏览: 145
首先我们可以将问题转化为求解:
$$\max_{x_1,x_2,x_3} g_1(x_1)g_2(x_2)g_3(x_3)$$
满足约束条件:
$$x_1+x_2+x_3 \leq 10$$
其中,$g_i(x_i)$ 的取值如下表所示:
| $g_i(x_i)$ | $x_i=0$ | $x_i=1$ | $x_i=2$ | $x_i=3$ | $x_i=4$ | $x_i=5$ | $x_i=6$ | $x_i=7$ | $x_i=8$ | $x_i=9$ | $x_i=10$ |
| :-------: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :-----: |
| $g_1(x_1)$ | 0 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| $g_2(x_2)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| $g_3(x_3)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
我们可以定义状态 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个函数,在 $x_1=j,x_2=k$ 的情况下的最大值。
对于每个状态 $f_{i,j,k}$,它可以从 $f_{i-1,j,k},f_{i,j-1,k},f_{i,j,k-1}$ 转移而来。具体来说,我们可以考虑当前函数 $g_i(x_i)$ 的取值,如果 $g_i(x_i)=0$,那么当前状态的取值也应该为 $0$。否则,我们可以将当前函数的值乘到当前状态上,即:
$$f_{i,j,k}=\max(f_{i,j,k},f_{i-1,j-x_1,k-x_2}\times g_i(x_i))$$
对于初值,我们有:
$$f_{0,0,0}=1$$
由于 $x_1,x_2,x_3$ 取值范围均为 $0\sim 10$,因此最终的答案为:
$$\max_{0\leq j,k,l\leq 10} f_{3,j,k}$$
最后,我们可以使用动态规划算法来实现上述递推关系,求得最优解及对应的 $x_1,x_2,x_3$ 值。