matlab jacobi迭代hilbert

Jacobi迭代是一种迭代法，用于解线性方程组。Hilbert矩阵是一类常见的矩阵，它是一个n阶矩阵，其第i行第j列的元素为1/(i+j-1)。下面介绍如何用Jacobi迭代法求解Hilbert矩阵的线性方程组。

假设Hilbert矩阵为A，线性方程组为Ax=b，其中b是已知向量。则Jacobi迭代的迭代格式为：

x(k+1)i = (b(i) - Σ(j=1,j≠i)ⁿ a(i,j)x(k)j)/a(i,i)

其中x(k)i表示第k次迭代后x的第i个分量，a(i,j)表示A的第i行第j列元素。

具体实现可以按照以下步骤进行：

1. 初始化x(0)为一个任意向量，一般可以取全0向量或随机向量。

2. 对于每次迭代k，计算新的x(k+1)。需要遍历x的每个分量，对于第i个分量，计算上述迭代公式，其中Σ(j=1,j≠i)ⁿ a(i,j)x(k)j表示A的第i行除了第i个元素之外的其他元素与x(k)对应的分量的乘积之和，b(i)为向量b的第i个分量。

3. 判断新的x(k+1)是否满足精度要求，若满足则停止迭代，输出x(k+1)；若不满足，则将x(k+1)作为新的x(0)，继续进行迭代。

下面是MATLAB代码实现Jacobi迭代法求解Hilbert矩阵的线性方程组：

n = 5; % Hilbert矩阵的阶数
A = hilb(n); % 生成Hilbert矩阵
b = ones(n, 1); % 生成向量b
x = zeros(n, 1); % 初始化x为全0向量
max_iter = 100; % 最大迭代次数
tolerance = 1e-6; % 精度要求
for k = 1:max_iter
    x_new = zeros(n, 1);
    for i = 1:n
        temp_sum = 0;
        for j = 1:n
            if j ~= i
                temp_sum = temp_sum + A(i, j) * x(j);
            end
        end
        x_new(i) = (b(i) - temp_sum) / A(i, i);
    end
    if norm(x_new - x) < tolerance % 判断精度是否满足要求
        break;
    end
    x = x_new;
end
x % 输出结果