\frac{\partial L}{\partial x_{p,q,k}}=\sum_{i,j\in S_{p,q}}\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}\cdot [x_{p,q,k}=\max_{p',q'\in S_{i,j}}x_{p',q',k}]，解释上述公式中的所有符号含义

时间: 2023-08-30 13:09:38 浏览: 118
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Nodos_EL_2.rar_Euler lagrange_Euler-lagrange

这个公式是超像素池化层的反向传播公式，用于计算损失函数关于输入$x_{p,q,k}$的梯度。下面是公式中各符号的含义： - $L$：损失函数 - $\frac{\partial L}{\partial x_{p,q,k}}$：损失函数关于输入$x_{p,q,k}$的梯度 - $S_{p,q}$：包含像素$(p,q)$的超像素区域 - $i,j$：超像素区域$S_{p,q}$中的行列索引 - $y_{i,j,k}$：超像素池化层输出的第$i$行、第$j$列、第$k$个通道的元素值 - $\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}$：损失函数关于输出$y_{i,j,k}$的梯度 - $x_{p,q,k}$：原始图像在位置$(p,q)$上第$k$个通道的像素值 - $[\cdot]$：指示函数，当中括号中的条件成立时，函数值为1，否则为0 - $\max_{p',q'\in S_{i,j}}x_{p',q',k}$：超像素区域$S_{i,j}$中所有像素的$k$通道像素值的最大值 公式的含义是，对于输入$x_{p,q,k}$，将池化输出的梯度$\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}$按照它在哪个位置取到最大值的条件进行加权求和，即将$\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}$乘上一个指示函数$[x_{p,q,k}=\max_{p',q'\in S_{i,j}}x_{p',q',k}]$，这个指示函数只有在$x_{p,q,k}$所在的超像素区域$(i,j)$中的最大值为$x_{p,q,k}$时才为1，否则为0。最后将所有超像素区域中贡献$x_{p,q,k}$的梯度加起来，就得到了$\frac{\partial L}{\partial x_{p,q,k}}$。
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超像素池化前向过程： $$ y_{i,j,k}=\max_{p,q\in S_{i,j}}x_{p,q,k} $$ 其中，$y_{i,j,k}$表示池化输出的第$i$行、第$j$列、第$k$个通道的元素值，$S_{i,j}$表示第$i$行、第$j$列的超像素区域，$x_{p,q,k}$表示原始图像在位置$(p,q)$上第$k$个通道的像素值。 1. 超像素池化反向过程： $$ \frac{\partial L}{\partial x_{p,q,k}}=\sum_{i,j\in S_{p,q}}\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}\cdot [x_{p,q,k}=\max_{p',q'\in S_{i,j}}x_{p',q',k}] $$ 其中，$L$表示损失函数，$\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}$表示池化输出对损失函数的梯度。上述公式有问题

具体来说，在反向传播过程中，将池化输出值$y_{i,j,k}$分配给超像素区域$S_{i,j}$中的每个像素$x_{p,q,k}$，即$\frac{\partial L}{\partial x_{p,q,k}}=\frac{\partial L}{\partial y_{i,j,k}}$，其中$\frac{\...

E(\frac{\hat{\partial J}} {\partial \theta}) = E_1[E_2(\frac{\hat{\partial J}} {\partial \theta})] \ &\= E_1[E_2( \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \frac{\hat{\partial J_k}} {\partial \theta} )] = E_1[ \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} E_2(\frac{\hat{\partial J_k}} {\partial \theta}) ] = E_1[ \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \frac{\partial J_k} {\partial \theta} ] = \frac{\partial J} {\partial \theta}

&= E_1\left[E_2\left(\frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \frac{\hat{\partial J_k}}{\partial \theta}\right)\right] \\ &= E_1\left[\frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} E_2\left(\frac{\hat{\partial J_k}}{\partial \theta}\...

\min_{d_1,\ldots,d_{10}} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2

$\frac{\partial}{\partial d_k} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)(-x_{ijk}) = 0$ 整理得到： $\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^...

将这段话细致描述一下波士顿房价预测是一个经典的回归问题，可以使用梯度下降算法来训练模型并获得最优解。 具体思路如下： 数据预处理：对数据进行标准化、归一化等处理，使得数据的特征值在同一范围内，有利于模型训练。 构建模型：选择适合回归问题的模型，如线性回归模型、多项式回归模型等。在这里，我们以线性回归模型为例，假设房价与各个特征值之间存在线性关系，即 $y = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n$。 定义损失函数：选择适合回归问题的损失函数，如均方误差（MSE）损失函数，即 $J（w） = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}（y_i - \hat{y_i}）^2$，其中 $m$ 是数样本，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\hat{y_i}$ 是模型预测值。 梯度下降算法：通过不断迭代更新模型参数，使得损失函数最小化。具体做法是计算损失函数对每个参数的偏导数，然后按照梯度方向更新参数，即 $w_j = w_j - \alpha\frac{\partial J（w）}{\partial w_j}$，其中 $\alpha$ 是学习率，控制每次迭代更新的步长。 模型评估：使用测试集验证模型的预测效果，如计算均方误差、平均绝对误差等指标。 以上就是使用梯度下降算法进行波士顿房价预测的主要思路。在实际应用中，还需要注意数据的质量、特征的选择、模型的复杂度等问题，以获得更准确、可靠的预测结果。

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试求$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ $$ u(0,t) = u_1(0,t) $$ $$ u(L,t) = u_2(L,t) $$的形式通解

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, &(x,t) \in (0,L) \times (0,+\infty) \\ u(0,t) = u_1(0,t), &t \ge 0 \\ u(L,t) = u_2(L,t), &t \ge 0 \\ u(x,0) = f(x), &x \in [0...

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考虑优化问题如下 \begin{align*} \min _{H(\x)} & \quad \mathbb{E}_{\Y|\x} \exp\left(-\frac{1}{K}(Y_1H(\x)_1 + \cdots + Y_K H(\x)_K)\right)\\ \text { s.t. } & \quad H(\x)_1 + \cdots H(\x)_K = 0. \end{align*} 请证明对于最优解$H^\star(\x)$, $\mathop{\arg\max}_{k \in [K]} H^\star(\x)_k$达到了贝叶斯最优错误率, 即SAMME使用的多分类指数损失函数 是0/1损失函数的一致的替代损失函数. (提示: 使用拉格朗日乘子法)

$$\frac{\partial L}{\partial H(\x)_k} = -\frac{1}{K}\mathbb{E}_{\Y|\x} Y_k\exp\left(-\frac{1}{K}(Y_1H(\x)_1 + \cdots + Y_K H(\x)_K)\right) + \lambda = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = H(\x)...

该过程正确吗？如果不正确，请给出修改后的正确版本。\begin{equation}\label{7a} \begin{aligned} \min_{}C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[1-\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} \end{aligned} \end{equation} We can rewrite \eqref{7a} as: \begin{equation}\label{15} \begin{aligned} \max_{\alpha}G_{1}(\alpha) \end{aligned} \end{equation} where \begin{equation}\label{15} \begin{aligned} G_{1}(\alpha)= C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} \end{aligned} \end{equation} To facilitate the following derivations, we define the convex function $g_{\theta}(v)$ as: \begin{equation} g{\theta}(v) = \frac{1}{\theta}[-v\log(-v) + v]^{\theta}, ~~v<0 \end{equation} Then, using the theory of conjugate functions, we have: \begin{equation} \exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) = \sup{v<0}[v\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}-g_{\theta}(v)], ~~~v=-\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) \end{equation} Thus, we can get: \begin{equation} \max{\alpha,v<0} \left{ \sum_{i=1}^{m_2} [v_i\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2} - g_{\theta}(v{i})] \right} \end{equation} which is equivalent to: \begin{equation} \max_{\alpha} \left{ \sum_{i=1}^{m_2} [\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) \frac{\xi_i^2}{2\sigma^2} - g_{\theta}(-\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}))] \right} \end{equation} This can be optimized using the HQ algorithm , where we alternate between optimizing $\alpha$ and $v$. Specifically, given fixed $\alpha^{(s)}$, we can solve for $v_i^{(s)}$ using the same equation as before: \begin{equation} v_i^{(s)} = -\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2\sigma^2}) \end{equation} then,we can get: \begin{equation}\label{1} \begin{aligned} \min{}C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[1-\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} = \frac{1}{2\sigma^2}\kappa^T \Omega^{\frac{1}{\theta}}\kappa \end{aligned} \end{equation} 其中 $\kappa$ 为长度为 $m_2$ 的向量，其第 $i$ 个元素为 $\xi_i$，$\Omega$ 为一个对角线矩阵，其第 $i$ 个对角线元素为 $-\theta \exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2})$。

$$v_i^{(s)} = -\frac{\partial g_{\theta}}{\partial v_i}|_{v_i=-\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2\sigma^2})}=\left[1-\frac{1}{\theta}(-v_i\log(-v_i)+v_i)^{\theta-1}\right]_{v_i=-\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2...

$l=\log |\Sigma|+\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T} \Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{x}{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)$ 这个式子怎么推导出来的

\frac{\partial}{\partial\Sigma}\sum_{i=1}^{N}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\mu})=-\Sigma^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{1}^T)(\...

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用matlab证明：H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数小于0

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假设 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$, 且 $\alpha=\x^\top\A\x$, 试求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$

\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j) $$ 接下来，我们对 $x_i x_j$ 求偏导数。注意到 $x_i x_j$ 是两个变量的乘积，所以我们需要...

考虑简单的抛硬币问题. 现有两枚硬币$A$和$B$，正面朝上的概率分别为$\theta_A, \theta_B$, 结果朝上 记为H~(head), 朝下记为T~(tail). 独立地进行$N$轮实验, 在第$k$轮实验中, 以均等概率选择一枚硬币$Z_k \in \{A,B\}$并重复抛掷$M$次, 其中硬币朝上的次数$X_k$为可观测变量, 而选择的硬币类型$Z_k$为隐变量不可观测. 我们将使用EM算法, 迭代一次, 对参数$\theta = (\theta_A, \theta_B)$进行估计, 使用的实验数据如表\ref{table: EM}所示. 具体而言共3轮实验, 每轮选取的硬币记为$z_i ~ (i=1,2,3)$, 抛掷10次并记录结果, 硬币朝上的次数记为$x_i ~ (i=1,2,3)$. 假设参数的初始值$\theta^0 = (0.6, 0.5)$. 请结合实验数据, 推断出隐变量取值$\z = (z_1, z_2)$的分布, 即推断出第$i$轮实验~($i=1,2,3$)中抛掷硬币$A$、硬币$B$各自的概率

p(\z_i | \x_i, \theta) = \frac{p(\x_i, \z_i | \theta)}{p(\x_i | \theta)} = \frac{p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)}{\sum_{\z_i} p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)} $$ 其中，分母是边缘概率，可以...

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