对于多元函数极值的定义

对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果存在一个点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，使得在该点的某个邻域内，函数值不大于（或不小于）该点处的函数值，则称该点为函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的一个极大值点（或极小值点）。如果该点是函数的极大值点，则称该点为极大值；如果该点是函数的极小值点，则称该点为极小值。同时，如果函数在所有定义域上都不存在极大值或极小值，则称该函数在该定义域上无界。

相关问题

求解多元函数极值matlab

求解多元函数的极值可以使用MATLAB中的不同函数，具体取决于函数的性质和约束条件。在MATLAB中，常用的函数包括fminsearch、fmincon和fminunc等。其中，fminsearch用于最小化无约束问题，fmincon用于处理带约束的优化问题，而fminunc用于处理无约束问题并使用梯度信息。

举个例子，如果要求解一个二元函数f(x,y)的极小值，可以使用fminsearch函数。首先，定义目标函数fun，然后使用fminsearch进行最小化计算。例如，对于函数f(x,y) = 2*x(1)^3 - 4*x(1)*x(2)^3 - 10*x(1)*x(2) + x(2)^2，可以使用以下MATLAB代码进行求解：

fun = @(x) 2*x(1)^3 - 4*x(1)*x(2)^3 - 10*x(1)*x(2) + x(2)^2;
x = fminsearch(fun,[0,0]);
min_value = fun(x);

其中，fun定义了目标函数，[0,0]是初始点的猜测值，x是找到的极小值点，min_value是目标函数在极小值点处的函数值。

请注意，求解多元函数的极值是一个复杂的问题，可能存在多个局部极值点。因此，初始点的选择和算法的选择都可能对结果产生影响。需要根据具体情况进行调整和优化。

综上所述，求解多元函数的极值可以使用MATLAB中的优化函数，如fminsearch、fmincon和fminunc等，具体选择取决于函数的性质和约束条件。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [matlab 求单/多元函数极值](https://blog.csdn.net/weixin_57038822/article/details/121729879)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [MATLAB——多元函数的极值](https://blog.csdn.net/qq_53142796/article/details/130167401)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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hessian矩阵与多元函数极值

Hessian矩阵是多元函数极值判定的重要工具。对于一个具有n个变量的多元函数f(x1, x2, ... , xn)，Hessian矩阵是一个n×n的矩阵，其元素为二阶偏导数。Hessian矩阵的定义如下：

Hessian矩阵的第i行第j列元素，即Hessian矩阵的第(i, j)元素，表示函数f对第i个变量x_i和第j个变量x_j的混合偏导数。

多元函数的极值可能出现在驻点 (critical point)或者临界点 (boundary point)上，通过Hessian矩阵可以判断一个驻点的极值类型。具体的判断方法如下：

1. 首先，计算函数f的一阶偏导数，求出所有的驻点。

2. 对于每个驻点，计算Hessian矩阵。

3. 判断Hessian矩阵的正定性（positive definite）、负定性（negative definite）、不定性（indefinite）或者半定性（positive semi-definite和negative semi-definite）。

- 如果Hessian矩阵在驻点处是正定的，则该点为函数的极小值点；
- 如果Hessian矩阵在驻点处是负定的，则该点为函数的极大值点；
- 如果Hessian矩阵在驻点处是不定的，则该点既不是极小值点也不是极大值点；
- 如果Hessian矩阵在驻点处是半定的，则需要进一步分析。

4. 进一步分析半定性的情况。

- 如果Hessian矩阵在驻点处是半正定的，则该点可能是函数的极小值点，也可能是鞍点；
- 如果Hessian矩阵在驻点处是半负定的，则该点可能是函数的极大值点，也可能是鞍点；
- 如果Hessian矩阵在驻点处即半正定又半负定，则该点既可能是函数的极小值点又可能是极大值点。

通过以上步骤，我们可以利用Hessian矩阵来判断多元函数的驻点的极值类型，从而找到函数的极值点。需要注意的是，Hessian矩阵为对称矩阵，而且其元素的值与函数的表达式有关，要根据具体问题进行计算，以得到准确的极值判定结果。