用迭代法实现C语言的pow函数

pow函数用于计算一个数的幂。迭代法实现pow函数的思路如下：

- 对于指数为0的情况，直接返回1；
- 对于指数为正数的情况，使用循环累乘的方式计算幂；
- 对于指数为负数的情况，先将指数转化为正数，然后计算幂，最后再取倒数。

下面是用迭代法实现pow函数的C语言代码：

#include <stdio.h>

double mypow(double base, int exponent)
{
    if (exponent == 0) {
        return 1;
    }

    double result = 1;
    int abs_exponent = exponent > 0 ? exponent : -exponent;
    for (int i = 0; i < abs_exponent; i++) {
        result *= base;
    }

    if (exponent < 0) {
        result = 1.0 / result;
    }

    return result;
}

int main()
{
    double base = 2.0;
    int exponent = 3;
    printf("%f\n", mypow(base, exponent));
    return 0;
}

这个程序计算2的3次方，输出结果为8.000000。

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c语言有重根时的牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种求函数零点的方法，可以用于解方程或者求函数的根。当函数有重根时，可以使用改进的牛顿迭代法进行求解。下面是使用C语言实现的牛顿迭代法：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return pow(x, 3) - 3 * x + 1; // 定义函数f(x)
}

double f1(double x) {
    return 3 * pow(x, 2) - 3; // 定义函数f(x)的导数f'(x)
}

double f2(double x) {
    return 6 * x; // 定义函数f(x)的二阶导数f''(x)
}

double newton(double x0, double eps) {
    double x = x0;
    double fx = f(x);
    double fx1 = f1(x);
    double fx2 = f2(x);

    while (fabs(fx) > eps) {
        double d = fx1 * fx1 - 2 * fx * fx2;
        if (d < 0) {
            x = x - fx / fx1; // 使用牛顿迭代法
        } else {
            x = x - (2 * fx) / (fx1 + sqrt(d)); // 使用改进的牛顿迭代法
        }
        fx = f(x);
        fx1 = f1(x);
        fx2 = f2(x);
    }
    return x;
}

int main() {
    double x0 = 1.0; // 迭代初始值
    double eps = 1e-6; // 迭代精度
    double result = newton(x0, eps);

    printf("The root of f(x) is: %lf\n", result);
    return 0;
}

在这个例子中，我们定义了函数f(x)及其一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后使用牛顿迭代法进行求解。当函数有重根时，如果使用传统的牛顿迭代法可能会出现迭代不收敛的情况，因此我们使用改进的牛顿迭代法来解决这个问题。

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假设要求解的方程为 f(x) = 0，在1.5附近求解，设其近似解为 x0，则有：

x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

其中 f'(x0) 表示 f(x) 在 x0 处的导数，即斜率。不断迭代，可得到更加精确的近似解。

下面是用牛顿迭代法求解 f(x) = x^3 - 2x - 5 在1.5附近的根的 C 语言代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return pow(x, 3) - 2 * x - 5;
}

double df(double x) {
    return 3 * pow(x, 2) - 2;
}

int main() {
    double x0 = 1.5, x1;
    int i = 0;
    do {
        x1 = x0 - f(x0) / df(x0);
        printf("x%d = %lf\n", i, x1);
        x0 = x1;
        i++;
    } while (fabs(f(x1)) > 1e-6 && i < 100);
    printf("root = %lf\n", x1);
    return 0;
}

其中 f(x) 和 df(x) 分别表示方程和导数函数，fabs() 函数用于求绝对值。在 do-while 循环中，不断迭代求解，直至满足精度要求或达到最大迭代次数。最终得到的 x1 即为所求的根。