用schur分解证明:如果A*B=B*A,则A+B的特征值等于这两个矩阵的特征值之和
时间: 2024-04-02 18:37:50 浏览: 24
首先,我们将 $A, B$ 分别进行 Schur 分解,得到:
$$A = Q_1 T_1 Q_1^*, \quad B = Q_2 T_2 Q_2^*$$
其中 $Q_1, Q_2$ 是酉矩阵,$T_1, T_2$ 是上三角矩阵。
由于 $A, B$ 可交换,所以有:
$$AB = BA$$
代入 $A, B$ 的 Schur 分解式可得:
$$Q_1 T_1 Q_1^* Q_2 T_2 Q_2^* = Q_2 T_2 Q_2^* Q_1 T_1 Q_1^*$$
将 $Q_1^* Q_2$ 用 $U$ 替换,得到:
$$T_1 U T_2^* = T_2 U T_1^*$$
对上式两边同时取转置,得到:
$$(T_1 U T_2^*)^* = (T_2 U T_1^*)^*$$
$$T_2 U^* T_1^* = T_1 U^* T_2^*$$
由于 $T_1, T_2$ 都是上三角矩阵,所以 $T_1^*, T_2^*$ 都是下三角矩阵,因此可以将上式改写为:
$$\begin{bmatrix}
t_{11} & * & \cdots & * \\
0 & t_{22} & \cdots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & t_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{11}^* & 0 & \cdots & 0 \\
* & u_{22}^* & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
* & * & \cdots & u_{nn}^*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_{11}^* & 0 & \cdots & 0 \\
* & u_{22}^* & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
* & * & \cdots & u_{nn}^*
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t_{11} & * & \cdots & * \\
0 & t_{22} & \cdots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & t_{nn}
\end{bmatrix}$$
根据矩阵乘法的定义,上式的第 $(i,j)$ 个元素为:
$$t_{ii} u_{ij}^* t_{jj} = t_{jj} u_{ij}^* t_{ii}$$
当 $i \neq j$ 时,由于 $t_{ii} \neq t_{jj}$,所以 $u_{ij} = 0$。因此,$U$ 是对角矩阵:
$$U = \begin{bmatrix}
u_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & u_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn}
\end{bmatrix}$$
其中 $u_{ii}$ 可以为任意复数。
现在考虑矩阵 $A+B$ 的特征值。根据 Schur 分解的定义,存在酉矩阵 $Q$ 使得:
$$A+B = Q T Q^*$$
其中 $T$ 是上三角矩阵。我们需要证明 $T$ 的对角线元素就是 $A$ 和 $B$ 对角线元素之和,即:
$$t_{ii} = a_{ii} + b_{ii}$$
由于 $A, B$ 的 Schur 分解式为:
$$A = Q_1 T_1 Q_1^*, \quad B = Q_2 T_2 Q_2^*$$
所以:
$$a_{ii} = q_{i}^* t_{1,i} q_{i}, \quad b_{ii} = q_{i}^* t_{2,i} q_{i}$$
其中 $q_i$ 表示 $Q_1$ 的第 $i$ 列,$q_i^*$ 表示 $Q_1^*$ 的第 $i$ 行。因此:
$$a_{ii}+b_{ii} = q_{i}^* (t_{1,i}+t_{2,i}) q_{i}$$
因为 $T_1, T_2$ 都是上三角矩阵,所以 $T_1+T_2$ 也是上三角矩阵,且对角线元素就是 $t_{1,i}+t_{2,i}$。因此,$A+B$ 的特征值就是 $T_1+T_2$ 的对角线元素,即:
$$\text{eig}(A+B) = \{t_{1,1}+t_{2,1}, t_{1,2}+t_{2,2}, \ldots, t_{1,n}+t_{2,n}\}$$
证毕。
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