戎解证明题2：求解递推方程并证明结论 证明T(n)=T（[n/2]）+1的解是O(logn）(注：不能直接使用 主定理）。

首先，我们通过递推的方式求解T(n)：
T(n) = T([n/2]) + 1
= T([n/4]) + 1 + 1
= T([n/8]) + 1 + 1 + 1
= ...
= T(1) + log2(n)

其中，[n/2]表示n除以2向下取整的结果。

现在我们需要证明T(n)的解是O(logn)。我们可以通过数学归纳法来证明。

首先，我们需要证明当n=1时，T(n)的解是O(logn)。当n=1时，T(n) = T(1)，因此T(1)的解显然是O(1)，也是O(logn)的一种特殊情况。

接下来，我们需要证明当n=k时，结论成立，即T(k)的解是O(logk)。假设当n=m（1 <= m < k）时，结论也成立，即T(m)的解是O(logm)。

现在考虑n=k的情况，根据递推式T(n) = T([n/2]) + 1，我们有：
T(k) = T([k/2]) + 1
<= c*log([k/2]) + 1 （根据归纳假设，T([k/2])的解是O(log[k/2])）
<= c*logk - c*log2 + 1 （注意log([k/2]) = logk - log2）
<= c*logk

因此，当n=k时，T(n)的解是O(logn)。

综上所述，根据数学归纳法，对于任意n，T(n)的解是O(logn)。

相关问题

求解证明题1：求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T（n/2)+n/logn 的解，

### 回答1：
首先，我们可以将这个式子写成递归形式：

求解时间复杂度为 T(n) = 2T(n/2) + n/log(n) 的问题。

接下来，我们可以使用主定理来求解这个递归式的时间复杂度。

主定理的一般形式是：T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中 a ≥ 1，b > 1，f(n) 是一个非负函数。

根据主定理，我们可以将 T(n) 的时间复杂度分为以下三种情况：

1. 如果 f(n) = O(n^c) 且 a < b^c，则 T(n) = Θ(n^c)。
2. 如果 f(n) = Θ(n^c log^k(n))，则 T(n) = Θ(n^c log^(k+1)(n))。
3. 如果 f(n) = Ω(n^c) 且 a > b^c，则 T(n) = Θ(f(n))。

根据上述情况，我们可以得到：

- a = 2，b = 2，f(n) = n/log(n)，因此，c = log2(2) = 1，k = 0。
- f(n) = Θ(n^c log^k(n))，其中 c = 1，k = 0。
- 因此，根据情况 2，T(n) = Θ(n log(n))。

因此，这个式子的时间复杂度为 Θ(n log(n))。

### 回答2：
首先解递推方程：

根据递推方程 丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn)，我们可以将递推式进行展开：

丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn)
= 2 * (2T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2))))
= 2² * T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2)))²
= 2³ * T(n/8) / ((n/4)/(log(n/4)))³
= ...
= 2^k * T(n/2^k) / ((n/2^k)/(log(n/2^k)))^k

其中，k = logn。

当 n/2^k = 1 时，即 n = 2^k，我们得到 k = logn，意味着到达基本情况。

当 n/2^k = 1，即 n = 2^k，将其代入上述公式，得到：
丁(n) = 2^k * T(1) / (1/(log(1)))^k
= 2^k * T(1) / (1/0)^k （0 的对数是无穷大）
= 2^k * T(1) / 0^k

因为 0 的 k 次方也是无穷大，所以这个递推方程没有明确的解。

综上所述，无法求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。

### 回答3：
要证明丁(n) = 2T(n/2) n/logn的解，首先需要解递推方程丁(n) = 2T(n/2)。

根据递推方程的定义，丁(n) 的值取决于 2T(n/2)。而T(n/2) 的值又取决于 2T(n/4)，以此类推。

假设对于一个特定的K，有丁(2^K) = 2T(2^(K-1))。将这个假设代入递推方程中，我们有：

丁(2^K) = 2T(2^(K-1)) = 2*(2T(2^(K-1)/2)) = 2*(2T(2^(K-2)))

继续代入递推方程中，我们可以得到：

丁(2^K) = 2*(2*(2T(2^(K-2)/2))) = 2*(2*(2T(2^(K-3))))

继续推导下去，我们可以得到：

丁(2^K) = 2*(2*(2*...*(2*T(1)))) = 2^K * T(1)

其中，有K个2相乘。

又因为丁(1) = T(1) = 1/log(1)，所以我们可以推断出：

丁(n) = 2^(logn) * T(1) = n * T(1) = n/logn

所以可以得出结论，丁(n) = 2T(n/2) n/logn 的解为 n/logn。

求解证明题1：求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T（n/2)+n/logn 的解，并用代入归纳法证明。

### 回答1：
题目描述：

求解 T(n) = 2T(n/2) + n/logn，同时用代入归纳法证明解的正确性。

解答：

我们可以使用代入归纳法来求解此递归式。

当 n = 1 时，T(1) = 2T(1/2) + 1/log1 = 2T(1/2)，即 T(1) = Θ(1)。

现假设对于所有的 m < n，都有 T(m) = Θ(m log m)。

那么对于 n，我们有：

T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2(Θ((n/2) log(n/2))) + n/logn （根据归纳假设）
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)

因此，T(n) 的解为 Θ(n logn)。接下来，我们使用代入归纳法证明此解的正确性。

当 n = 1 时，T(1) = Θ(1) = Θ(1 log 1)。假设对于所有的 m < n，都有 T(m) = Θ(m log m)。那么对于 n，我们有：

T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2Θ((n/2) log(n/2)) + n/logn
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)

因此，对于所有的 n，T(n) = Θ(n logn)，证毕。

### 回答2：
为了求解递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn，首先我们需要了解递推方程和代入归纳法的基本概念。

递推方程是指通过已知的初始条件，利用递推关系式逐步计算出待求解的数列或函数值的一种方程。而代入归纳法是一种数学论证方法，通过将待证结论代入到递推关系式中，并基于已证明的初始条件来逐步验证结论是否成立。

对于递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn，我们可以先观察到这是一个递归定义问题，其中丁(n)是一个函数，而T(n)是其中的一个子问题。

假设n是2的k次方，即n = 2^k，其中k是非负整数。可以推导出n/2 = 2^(k-1)，进而我们可以将递推关系式改写为：
丁(n)=2T(2^(k-1))

将T(2^(k-1))用类似的方式展开，我们有：
T(2^(k-1))=2T(2^(k-1-1))

继续展开，我们得到：
T(2^(k-1-1))=2T(2^(k-1-1-1))

以此类推，最终可以得到：
丁(n)=2^k * T(1)

其中T(1)是递归关系的初始条件。

我们知道，n=log(2^k)=klog2，所以原问题可以改写为：
丁(n) = 2^(n/logn) * T(1)

接下来，我们将使用代入归纳法来证明这个结论。

代入归纳法分为两个步骤：基本步骤和归纳步骤。

基本步骤：当n等于1时，根据递推方程的定义，丁(1)=2T(1)。这个基本步骤成立。

归纳步骤：假设对于任意的n=k，递推方程丁(k)=2^(k/logk) * T(1)成立。我们来证明对于n=k+1，丁(k+1)=2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)成立。

当n=k+1时，根据递推方程的定义，我们有：
丁(k+1) = 2T((k+1)/2)

由于(k+1)/2 <= (k+1)，
根据我们在基本步骤中得到的丁(n)=2^(n/logn) * T(1)的结论，
我们可以得到：
2T((k+1)/2) = 2^(k+1/log(k+1)) * T(1)
丁(k+1) = 2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)

由此我们可以看出，对于任意的正整数n，递推方程丁(n)=2^(n/logn) * T(1)成立。

综上所述，我们求解了递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn的解，并用代入归纳法证明了结论的正确性。

### 回答3：
首先，我们来求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。

根据递推关系，我们可以观察到每次对n进行除以2的操作，而且n是逐渐减小的。因此，我们猜测递推的终止条件是n=1。

当n=1时，代入递推方程中，我们得到：
丁(1) = 2T(1/2) / (1/log1)
由于1/log1的值为0，在不考虑除以0的情况下，我们将递推终止在n=2。

然后，我们用代入归纳法证明结论。

对于n=2时，我们有：
丁(2) = 2T(2/2) / (2/log2)
由于2/2=1，代入递推方程中，我们得到：
丁(2) = 2T(1) / (2/log2)

接下来，假设对于任意的k < n，都有丁(k) = 2T(k/2) / (k/logk) 成立。我们来证明对于n，也满足这个递推关系。

当n=2k时，代入递推方程中，我们得到：
丁(2k) = 2T((2k)/2) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = 2T(k) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = (2/log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2 * (logk / log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2T(k) / (k/logk)
由此可见，对于n=2k的情况，递推关系仍然成立。

综上所述，对于任意的n，丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解满足这个递推方程。