用 python在区间[-1,1]上，对被插函数 f (x)= 1 /(1+ 16*x*x

进行拉格朗日插值。首先，我们需要选择插值节点。这里我们选择等距节点，即在区间[-1,1]上取 n+1 个节点，间距为 Δx=2/n，其中 n 是正整数。节点的 x 坐标为 xi=-1+i*Δx，i=0,1,2,...,n。

然后，我们可以写一个 Python 函数来计算插值多项式。以下是一个示例代码：

import numpy as np

def lagrange_interpolation(x, y, xinterp):
    """
    Lagrange interpolation for the function y = f(x).
    
    Parameters
    ----------
    x : array_like
        x-coordinates of the data points.
    y : array_like
        y-coordinates of the data points.
    xinterp : array_like
        x-coordinates of the interpolation points.
        
    Returns
    -------
    yinterp : array_like
        Interpolated values of y at xinterp.
    """
    n = len(x)
    yinterp = np.zeros_like(xinterp)
    
    for k in range(n):
        p = np.ones_like(xinterp)
        for j in range(n):
            if j != k:
                p *= (xinterp - x[j]) / (x[k] - x[j])
        yinterp += y[k] * p
        
    return yinterp

我们现在可以使用这个函数来进行拉格朗日插值。以下是一个示例代码：

import matplotlib.pyplot as plt

# Define the function to be interpolated
f = lambda x: 1 / (1 + 16 * x**2)

# Define the number of interpolation points
n = 10

# Define the interpolation nodes
x = np.linspace(-1, 1, n+1)
y = f(x)

# Define the interpolation points
xinterp = np.linspace(-1, 1, 101)
yinterp = lagrange_interpolation(x, y, xinterp)

# Plot the function and the interpolated values
plt.plot(xinterp, f(xinterp), label='f(x)')
plt.plot(xinterp, yinterp, label='Interpolated')
plt.scatter(x, y, color='red')
plt.legend()
plt.show()

这将生成以下插值图：


可以看到，插值多项式非常逼近原函数，在插值节点处也取得了精确的值。