如何证明矩阵值函数G（e^iw）对于所以w∈[0,π]是扇形的

首先，让我们回顾一下矩阵值函数的定义。一个矩阵值函数是一个将复数域上的每个数映射到一个矩阵的函数。因此，矩阵值函数 $G(e^{iw})$ 可以被视为将复平面上的每个点 $e^{iw}$ 映射到一个矩阵的函数。

现在，让我们考虑一个扇形 $S$，其中所有的点 $e^{iw}$ 都满足 $0 \leq w \leq \pi$。我们需要证明 $G(e^{iw})$ 在 $S$ 中是一个常值函数。

为了证明这一点，我们可以利用矩阵值函数的连续性和路径独立性质。具体来说，我们可以选择两个点 $z_1$ 和 $z_2$，分别位于扇形 $S$ 的两个不同的弧上，然后证明 $G(z_1) = G(z_2)$。

首先，我们注意到 $S$ 可以被视为由两条路径构成的复平面区域，即从原点到实轴上的点 $1$，和从原点到虚轴上的点 $i$。这两条路径可以分别表示为：

$$\gamma_1(t) = e^{it}, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$$

和

$$\gamma_2(t) = e^{i(\pi/2 + it)}, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$$

现在，我们可以考虑一个封闭路径 $\gamma$，它由这两条路径首尾相连组成。也就是说，$\gamma$ 由 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 组成，如下所示：


由于矩阵值函数具有路径独立性质，我们可以写出：

$$G(1) = G(e^{i\pi/2})G(i)G(e^{-i\pi/2})$$

其中，$G(1)$ 和 $G(i)$ 分别是 $G(e^{i\pi/2})$ 和 $G(e^{-i\pi/2})$ 的中间项。注意到 $e^{i\pi/2}$ 和 $e^{-i\pi/2}$ 分别位于 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 的端点，因此可以使用路径独立性质。

现在，我们可以沿用相同的方法，将 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 的弧拆分成更小的弧，并将它们首尾相连，得到一个更长的封闭路径。这样一直重复下去，最终得到一个长度趋近于零的封闭路径，使得 $G(1) = G(i) = G(e^{iw})$，其中 $w \in [0, \pi]$。

因此，我们证明了 $G(e^{iw})$ 在扇形 $S$ 中是一个常值函数，即 $G(e^{iw}) = G(1)$ 对于所有 $w \in [0, \pi]$ 成立。