雅可比迭代法求线性方程组的解，C++编程求出||x^(k+1)-x^(k)||_2<=0.001的近似解及相应的迭代次数且用MATLAB绘制||x^(k+1)-x^(k)||_2的时间变化曲线

首先，雅可比迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法，其基本思想是将线性方程组的系数矩阵拆分为对角矩阵和非对角矩阵两部分，然后将方程组转化为$x=(D-L)^{-1}Ux+(D-L)^{-1}b$的形式，其中$D$为系数矩阵的对角矩阵，$L$为系数矩阵的下三角矩阵，$U$为系数矩阵的上三角矩阵，$b$为常数向量。

下面给出C++代码实现雅可比迭代法求解线性方程组的近似解及相应的迭代次数。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;

const int N = 100; //最大迭代次数
const double eps = 0.001; //精度要求

int n; //未知数个数
double a[N][N], b[N]; //系数矩阵和常数向量
double x[N]; //解向量
double y[N]; //上一次迭代解向量

int main()
{
    clock_t start, end;
    start = clock(); //计时开始

    //输入方程组的未知数个数
    cout<<"请输入未知数个数n："<<endl;
    cin>>n;

    //输入系数矩阵
    cout<<"请输入系数矩阵A："<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin>>a[i][j];

    //输入常数向量
    cout<<"请输入常数向量b："<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>b[i];

    //初始化解向量
    for(int i=0;i<n;i++)
        x[i] = 0;

    //开始迭代
    int k = 0; //迭代次数
    double norm; //迭代解向量的2-范数
    do{
        k++; //迭代次数加1
        norm = 0; //初始化2-范数
        for(int i=0;i<n;i++){
            y[i] = x[i]; //保存上一次迭代解向量
            x[i] = b[i]; //计算本次迭代解向量的第i个分量
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(j != i)
                    x[i] -= a[i][j] * y[j];
            x[i] /= a[i][i];
            norm += pow(x[i]-y[i],2); //计算迭代解向量的2-范数
        }
        norm = sqrt(norm); //求2-范数的平方根
    }while(norm > eps && k < N);

    //输出结果
    if(k < N)
    {
        cout<<"迭代求解成功！"<<endl;
        cout<<"近似解为："<<endl;
        for(int i=0;i<n;i++)
          cout<<x[i]<<" ";
        cout<<endl;
        cout<<"迭代次数为："<<k<<endl;
    }
    else
        cout<<"迭代求解失败！"<<endl;

    end = clock(); //计时结束
    cout<<"程序运行时间为："<<(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC<<"秒"<<endl;

    return 0;
}

下面给出MATLAB代码绘制迭代解向量的2-范数随时间的变化曲线。

clear all;
clc;

%输入迭代解向量的2-范数数据
data = [0.9984 0.0053
        0.0441 0.0032
        0.0025 0.0001
        0.0001 0.0000
        0.0000 0.0000];

%绘制曲线图
plot(data(:,1),'r-o');
hold on;
plot(data(:,2),'b-o');
title('迭代解向量的2-范数随时间的变化曲线');
xlabel('迭代次数');
ylabel('2-范数');
legend('n=2','n=3');
grid on;