例:利用范式证明下列公式为永真式 (证明合取范式的每一个 合取项中含有互补文字) (3) (p<->q)<->((p^q)V(-p/\-q))
时间: 2023-12-18 13:02:28 浏览: 42
我们可以通过构造该命题的合取范式来证明它是一个永真式。首先,根据双重否定律,可以得到:
(p <-> q) <-> ~(~p <-> ~q)
通过推导,可以将 ~(~p <-> ~q) 化简为 (p V q) /\ (-p V -q)。因此,原命题可以化简为:
(p <-> q) <-> ((p /\ q) V (-p /\ -q))
接下来,我们需要证明该命题的合取范式中每一个合取项都含有互补文字。我们可以列出合取范式:
[(p /\ q) /\ (p \/ -q) /\ (-p \/ q) /\ (-p \/ -q)] \/ [(p /\ -q) /\ (p \/ q) /\ (-p \/ -q) /\ (-p \/ q)]
观察第一个合取项,其中包含了 p /\ -q 和 -p \/ q 两个互补文字;同理,第二个合取项中也包含了互补文字。因此,该命题的合取范式中每一个合取项都含有互补文字,证毕。由此可知,原命题为永真式。
相关问题
例:利用范式证明下列公式为永真式 (证明合取范式的每一个 合取项中含有互补文字)(4) (p<->q)<-> ((r^p)<-> (r^q) )^((rVp) <-> (rVq))
首先,我们需要将原始公式转化为合取范式。根据等价关系,我们有:
(p<->q)<-> ((r^p)<-> (r^q) )^((rVp) <-> (rVq))
= ((p->q)^(q->p))<-> (((r^p)->(r^q))^((r^q)->(r^p))^((rVp)->(rVq))^((rVq)->(rVp)))
= ((p->q)^(q->p))<-> (((r->(p->q))^((r->q)->(r->p)))^((r->(r^p))->(r^q))^((r->(r^q))->(r^p))^((r->(rVp))->(rVq))^((r->(rVq))->(rVp)))
= ((p->q)^(q->p))<-> (((r->p)->(r->q))^((r->q)->(r->p))^((r->r)->(r->p))^((r->p)->(r->r))^((r->r)->(r->q))^((r->q)->(r->r))^((r->r)->(r->q))^((r->q)->(r->r))^((r->r)->(r->p))^((r->p)->(r->r))^((r->r)->(r->q))^((r->q)->(r->r)))
= ((p->q)^(q->p))<-> ((r->p->q)^((r->q->p))^((r->p->r)^((r->r->p))^((r->q->r)^((r->r->q))^((r->p->r))^((r->r->p))^((r->q->r))^((r->r->q))^((r->r->p))^((r->p->r))^((r->r->q))^((r->q->r))))
现在,我们需要证明每个合取项中都有互补文字。我们将每个合取项列在下面:
1. (p->q)^(q->p)
2. r->p->q
3. r->q->p
4. r->p->r
5. r->r->p
6. r->q->r
7. r->r->q
8. r->p->r
9. r->r->p
10. r->q->r
11. r->r->q
我们可以看到,在每个合取项中,文字 p 和 q 都是互补的。因此,我们可以得出结论:原始公式为永真式。
若含有n个命题变项的公式A是重言式,则A的主合取范式为
A的主合取范式是指将A写成若干个命题合取的形式,其中每个合取式都只包含A中的命题变项或者它们的否定,并且A与这些合取式在逻辑上等价。主合取范式可以通过真值表方法或者逻辑等价转换方法求得。下面是一种求解主合取范式的方法:
1. 将A的真值表列出来;
2. 找出A在所有行上都为真的行,将每个真值为真的命题变项或者它们的否定组成一项,得到一个命题合取;
3. 将所有命题合取用逻辑或连接起来就得到了A的主合取范式。
举个例子,若A为含有n个命题变项的重言式,则它的真值表只有一列,全都为真。因此,A的主合取范式就是将所有命题变项或者它们的否定用逻辑合取连接起来,即:
(A₁∨¬A₁) ∧ (A₂∨¬A₂) ∧ ... ∧ (Aₙ∨¬Aₙ)
其中,A₁, A₂, ..., Aₙ是A中的命题变项。
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