对差分方程y(n)+3/4y(n-1)+1/8y(n-2)=x(n)+3x(n-1)两边去单边z变换
时间: 2023-10-30 09:08:58 浏览: 39
先将差分方程转化为其对应的差分方程的特征方程:
λ^2 + 3/4λ + 1/8 = 0
解这个特征方程可以得到两个特征根:
λ1 = -1/2,λ2 = -1/4
因此,差分方程的通解为:
y(n) = c1(-1/2)^n + c2(-1/4)^n
其中,c1和c2是常数。为了求解这个差分方程的Z变换,我们需要进行以下步骤:
1. 对原方程两边进行Z变换,得到:
Y(z) + 3/4(z^-1)Y(z) + 1/8(z^-2)Y(z) = X(z) + 3(z^-1)X(z)
2. 整理得到Y(z)的表达式:
Y(z) = (8z(X(z) + 3(z^-1)X(z)))/(4z^2 + 3z + 1)
这就是差分方程的Z变换表达式。
相关问题
求解差分方程:y[n]+2y[n-1]=n-2.已知y[0]=1
我们可以使用递推的方法求解这个差分方程。将 n=0,1,2,3,... 代入差分方程中,得到:
n=0:y[0] + 2y[-1] = -2 ,即 y[-1] = -3/2
n=1:y[1] + 2y[0] = -1 ,即 y[1] = -3/2
n=2:y[2] + 2y[1] = 0 ,即 y[2] = 3/4
n=3:y[3] + 2y[2] = 3 ,即 y[3] = 3/8
可以发现,y[n] 的求解可以表示为 y[n] = (-2y[n-1] + n - 2)/1,其中 y[0] 已知为1。将这个递推式代入前面的计算结果中,可以得到:
y[0] = 1
y[1] = -3/2
y[2] = 3/4
y[3] = 3/8
y[4] = -1/16
y[5] = -1/32
...
因此,差分方程的通解为 y[n] = (-2y[n-1] + n - 2)/1,其中 y[0] = 1。
求y(n)-5/6y(n-1)+1/6y(n-2)=x(n)的h(n)
这是一个差分方程,可以通过 Z 变换和反变换求解。首先将其变换为:
Y(z) - 5/6 z^-1 Y(z) + 1/6 z^-2 Y(z) = X(z)
化简得:
Y(z) = (6z^2 - z)X(z) / (6z^2 - z - 1)
然后使用部分分式分解,得到:
Y(z) = (1/5) [ (2z-1) / (z-1/3) + (3z+1) / (z-1/2) ]
对于每一项,可以通过查表或者公式得到其反变换:
(2z-1) / (z-1/3) <==> 2 - 19/3(1/3)^n
(3z+1) / (z-1/2) <==> -2 + 13/2(1/2)^n
将两个反变换相加,得到整个系统的单位脉冲响应 h(n):
h(n) = (1/5) [ 2 - 19/3(1/3)^n - 2 + 13/2(1/2)^n ]
= (2/5) - (19/15)(1/3)^n + (13/10)(1/2)^n
因此,这个差分方程的单位脉冲响应为 h(n) = (2/5) - (19/15)(1/3)^n + (13/10)(1/2)^n。
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